25. Se f(t) = t * cos(t) , encontre f'''(0) .

Passo 1

Para derivarmos essa função só precisamos da regra do produto:

u ⋅ v ' = u ' v + v ' u

Aplicando à nossa equação

f ' t = d d t t ⋅ cos ⁡ t + d d t cos ⁡ t ⋅ t

f ' t = 1 ⋅ cos ⁡ t + - sen ⁡ t ⋅ t

Essa é a primeira derivada:

f ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t

Passo 2

Para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

f ' ' t = d d t cos ⁡ t - t sen ⁡ t

Derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ' t = d d t cos ⁡ t - d d t t sen ⁡ t

f ' ' t = - s en ⁡ t - d d t t sen ⁡ t

Mais uma vez vamos usar a regra do produto:

f ' ' t = - sen ⁡ t - d d t t ⋅ sen ⁡ t + d d t sen ⁡ t ⋅ t

f ' ' t = - sen ⁡ t - 1 ⋅ sen ⁡ t + co s ⁡ t ⋅ t

Somando os senos::

f ' ' t = - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t

Passo 3

Agora precisamos derivar uma ultima vez, para então, aplicar essa derivada no ponto zero:

f ' ' ' t = d d t - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t

Derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ' ' t = d d t - 2 sen ⁡ t - d d t t cos ⁡ t

f ' ' ' t = - 2 co s ⁡ t - d d t t cos ⁡ t

E de novo, vamos usar a regra do produto:

f ' ' ' t = - 2 cos ⁡ t - d d t t ⋅ cos ⁡ t + d d t cos ⁡ t ⋅ t

f ' ' ' t = - 2 cos ⁡ t - 1 ⋅ cos ⁡ t + - sen ⁡ t ⋅ t

Somando os termos iguais:

f ' ' ' t = - 3 cos ⁡ t + t sen ⁡ t

Passo 4

E então é só aplicar no ponto 0:

f ' ' ' 0 = - 3 cos ⁡ 0 + 0 sen ⁡ 0

f ' ' ' 0 = - 3 1 + 0

f ' ' ' 0 = - 3

Resposta

f ' ' ' 0 = - 3

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