5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

11. H(u) = (1 - 4u) / (1 + 3u)

Passo 1

Precisamos usar a regra da divisão para derivarmos essa função:

u v ' = v u ' - u v ' v 2

Aplicando na nossa equação:

H ' u = 1 + 3 u ⋅ d d x 1 - 4 u - 1 - 4 u d d x 1 + 3 u   1 + 3 u 2

Essas derivadas que aparecem no numerador são derivadas de polinômios, só precisamos baixar o expoente e diminuir um do expoente:

H ' u = 1 + 3 u ⋅ - 4 - 1 - 4 u 3   1 + 3 u 2

Fazendo as multiplicações

H ' u = - 4 - 12 u - 3 + 12 u   1 + 3 u 2

H ' u = - 7   1 + 3 u 2

Prontinho, essa é a primeira derivada

Passo 2

Para achar a segunda derivada é só derivar mais uma vez:

H ' u = d d u - 7   1 + 3 u 2

H ' u = - 7 ⋅ d d u 1 1 + 3 u 2

Podemos reescrever a função, para ficar mais fácil de derivar:

H ' u = - 7 ⋅ d d u 1 + 3 u - 2

Dessa forma só precisamos usar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o expoente na - 2 e a função de dentro é 1 + 3 u , então podemos escrever a equação como sendo:

H ' ' u = - 7 ⋅ - 2 1 + 3 u - 2 - 1 ⋅ d d u 1 + 3 u

H ' ' u = 14 1 + 3 u - 3 ⋅ 3

H ' ' u = 42 1 + 3 u - 3

Resposta

H ' u = - 7   1 + 3 u 2

H ' ' u = 42 1 + 3 u - 3

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