5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

10. g(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Passo 1

Precisamos usar a regra da divisão para derivarmos essa função:

u v ' = u ' v - v ' u v 2

Aplicando na nossa equação:

g ' x = x - 1 ⋅ d d x 2 x + 1 - 2 x + 1 d d x x - 1   x - 1 2

Essas derivadas que aparecem no numerador são derivadas de polinômios, só precisamos baixar o expoente e diminuir um do expoente:

g ' x = x - 1 ⋅ 2 - 2 x + 1 1   x - 1 2

Fazendo as multiplicações

g ' x = 2 x - 2 - 2 x + 1   x - 1 2

g ' x = - 3 x - 1 2

Prontinho, essa é a primeira derivada

Passo 2

Para achar a segunda derivada é só derivar mais uma vez:

g ' ' x = d d x - 3 x - 1 2

g ' ' x = - 3 ⋅ d d x 1 x - 1 2

Podemos reescrever a função, para ficar mais fácil de derivar:

g ' ' x = - 3 ⋅ d d x x - 1 - 2

Dessa forma só precisamos usar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o expoente na - 2 e a função de dentro é x - 1 , então podemos escrever a equação como sendo:

g ' ' x = - 3 ⋅ - 2 x - 1 - 2 - 1 ⋅ d d x x - 1

g ' ' x = - 3 ⋅ - 2 x - 1 - 3 ⋅ 1

g ' ' x = 6 x - 1 - 3

Resposta

g ' x = - 3 x - 1 2

g ' ' x = 6 x - 1 - 3

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