43-46 A equação do movimento é dada por uma partícula, onde s está em metros e t , em segundos. Encontre (a) a velocidade e a aceleração como funções em t, (b) a aceleração depois de 1 segundo e (c) a aceleração no instante em que a velocidade é 0.

46. s = 2 * t^3 - 7 * t^2 + 4 * t + 1, t ≥ 0

Passo 1

Oieee bora,

O enunciado está pedindo para encontrar a velocidade e a aceleração de uma partícula em movimento, representadas como funções do tempo t , usando a equação do movimento fornecida.

Além disso, solicita-se para calcular a aceleração em dois casos específicos: depois de 1 segundo e no instante em que a velocidade da partícula é zero.

Para encontrar a Velocidade v ( t ) :

- Para isso, derivamos a equação da posição s ( t ) em relação ao tempo t , pois a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Para encontrar a Aceleração a ( t )

- Derivamos a equação da velocidade v ( t ) em relação ao tempo t , pois a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.

Calcularemos a Aceleração depois de 1 Segundo:

- Substitu��mos t = 1 na equação da aceleração a ( t ) encontrada anteriormente.

Calcularemos a Aceleração no Instante em que a Velocidade é Zero:

- Para isso, encontramos os pontos em que a velocidade v ( t ) é zero, resolvendo a equação v t = 0 . Em seguida, substituímos esses valores na equação da aceleração a ( t ) para encontrar a aceleração nesses instantes.

Aplicando esses passos à equação do movimento s = 2 t 3 - 7 t 2 + 4 t + 1 ,   podemos encontrar a velocidade, a aceleração.

Passo 2

  1. Nós sabemos da física que a derivada do espaço é a velocidade:
  2. v = d s d t

    E que a derivada da velocidade é a aceleração:

    a = d v d t

    Então para encontrar a velocidade só precisamos deivar a função dada:

    v t = d d t 2 t 3 - 7 t 2 + 4 t + 1

    v t = 2 3 t 2 - 7 2 t + 4 + 0

    v t = 6 t 2 - 14 t + 4

    E para encontrar a aceleração vamos derivar mais uma vez:

    a t = d d t 6 t 2 - 14 t + 4

    a t = 6 2 t - 14 + 0

    a t = 12 t - 14

    Prontinho!

    Passo 2

  3. Para achar a aceleração depois de um segundo, não tem segredo, é só aplicar 1 na função da aceleração:
  4. a 1 = 12 1 - 14

    a 1 = - 2   m / s 2

    Passo 4

  5. Para achar a aceleração quando a partícula está parada devemos, primeiro, achar qual é esse instante:

v t = 6 t 2 - 14 t + 4

Queremos achar t e sabemos que o carro está com uma velocidade igual a 0:

0 = 6 t 2 - 14 t + 4

Só resolver a equação do segundo grau:

t 1 = 2   s

t 2 = 1 3   s

O carro fica com uma velocidade 0 nesses dois instantes, então:

a 2 = 12 2 - 14

a 2 = 10   m / s 2

e

a 1 3 = 12 1 3 - 14

a 1 3 = - 10   m / s 2

Resposta

  1. v t = 6 t 2 - 14 t + 4
  2. a t = 12 t - 14

  3. a 1 = - 2   m / s 2
  4. a 2 = 10   m / s 2

a 1 3 = - 10   m / s 2

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