Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

g(t) = t^3 * e^(5t)

Passo 1

Opaaa, e aí! Tudo bem?! Temos a função:

g t = t 3 e 5 t

E precisamos calcular a sua primeira e segunda derivada! Para isso vamos usar a regra do produto:

d d x   f h = h d f d x + f d h d x

E a regra da cadeia:

d y d x = d u d x d y d u

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar com a primeira derivada:

g t = t 3 e 5 t

Temos que:

f t = t 3

h t = e 5 t

Temos que:

d t 3 e 5 t d t   = e 5 t d t 3 d t + t 3 d e 5 t d t

Pela regra da cadeia, vamos precisar de fazer uma substituição na função interna:

u = 5 t

d e 5 t d t = d e u d u d 5 t d t

Então:

d t 3 e 5 t d t   = e 5 t d t 3 d t + t 3 d e u d u d 5 t d t

Derivando:

d t 3 e 5 t d t   = e 5 t 3 t 2 + t 3 e u ( 5 )

Voltando u pra variável original:

d t 3 e 5 t d t   = e 5 t 3 t 2 + t 3 e 5 t 5

Organizando:

d t 3 e 5 t d t   = e 5 t 3 t 2 + 5 t 3

Calculamos a primeira derivada!

g ' t = e 5 t 3 t 2 + 5 t 3

Passo 3

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente, usando a regra do produto e a regra da cadeia:

g ' t = e 5 t 3 t 2 + 5 t 3

g ' ' t = 3 t 2 + 5 t 3 d d t e 5 t + e 5 t d d t 3 t 2 + 5 t 3

No passo anterior vimos que:

d e 5 t d t = 5 e 5 t

Montando a derivada:

g ' ' t = 3 t 2 + 5 t 3 d d t e 5 t + e 5 t d d t 3 t 2 + 5 t 3

Agora derivando:

g ' ' t = 3 t 2 + 5 t 3 5 e 5 t + e 5 t 3 2 t + 5 3 t 2

Arrumando:

g ' ' t = 3 t 2 + 5 t 3 5 e 5 t + e 5 t 6 t + 15 t 2

g ' ' t = e 5 t 15 t 2 + 25 t 3 + 6 t + 15 t 2

g ' ' t = e 5 t 3 0 t 2 + 25 t 3 + 6 t

Prontinhooo!

Resposta

g ' t = 3 t 2 + 5 t 3 ⋅ e 5 t

g ' ' t = 6 t + 30 t 2 + 25 t 3 ⋅ e 5 t

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