Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 53a
53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.
53. a) Se e forem crescentes em um intervalo, então também será.
Passo 1
Então galera, caso não se lembrem da definição de função crescente:
“é crescente no intervalo se sempre que ”.
Tendo isso em vista, vamos considerar que e pertencem a um intervalo qualquer, beleza? Ademais, vale enfatizar que . Como e são crescentes:
Somando as funções:
Disso tiramos que:
Sendo assim, fica provado que a afirmação é verdadeira. De fato a soma das funções também será crescente.
Resposta
A afirmação é verdadeira.
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que t gxx para 0xπ 2 . [Sugestão: Mostre que f x = t gx - x é crescente em 0 , π 2 ].
Suponha que f seja derivável em um intervalo I e f ' x0 para todos os números x em I , exceto para um único número c . Demonstre que f é uma função crescente em todo o intervalo.
Mostre que e x ≥ 1 + x para x ≥ 0 .Deduza que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 para x ≥ 0 .Use a indução matemática para demonstrar que para x ≥ 0 e qualquer inteiro positivo n , e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +· · · + x
Suponha que a derivada da função seja f ' x = x - 1 2 x - 3 5 x - 6 4 . Em qual intervalo f está crescendo?
Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Mostre que g é derivável e que g ' x = 1 1 + e g x .(Sugestão: Veja Exercício 13 - 8.1 )