56. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam positivas e crescentes em (-∞, +∞) e com as quais f / g tem a propriedade indicada.

a) f / g é decrescente em (-∞, +∞) .

Passo 1

Então galera, para uma função ser crescente no intervalo em questão, o que tem que acontecer é que:

f ' x > 0   e   g ' x > 0

Para o problema em questão podemos tomar essas duas funções, se liga:

f x = e x

g x = e 2 x

Pois:

f ' x = e x > 0

g ' x = e 2 x . 2 = 2 e 2 x > 0

Como queríamos que acontecesse!

Passo 2

Se fizermos a divisão entre as funções, teremos:

f g = e x e 2 x = e - x = 1 e x

Vamos ver se é decrescente:

f g ' x = e - x . - 1 = - 1 e x < 0

Sendo assim, podemos concluir que, de fato, as funções que escolhemos satisfazem as condições que nos foram dadas.

Resposta

f x = e x

g x = e 2 x

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