1. Mostre que e^x ≥ 1 + x para x >= 0 .
  2. Deduza que e^x >= 1 + x + 1/2 * x^2 para x >= 0 .
  3. Use a indução matemática para demonstrar que para x >= 0 e qualquer inteiro positivo n ,

e^x ≥ 1 + x + (x^2 / 2!) + ... + (x^n / n!)

Passo 1

Fala queridos....

Nessa questão temos que mostrar que e x ≥ 1 + x para x ≥ 0 .

Para isso vamos usar a função

f x = e x - 1 - x

Encontrar sua derivada e provar que essa função é crescente, o que nos dará no final das contas o que queremos.

Depois vamos deduzir o mesmo para e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 e para isso faremos o mesmo procedimento.

Por fim vamos usar indução matemática para demonstrar que

e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! + … + x n n !

Passo 2

Vamos fazer f x = e x - 1 - x e analisar os sinais de f ' ( x ) :

Para x ≥ 0 nós temos:

f ' ( x ) = e x - 1 - x ' = e x - 0 - x 1 - 1 = e x - 1 ≥ 0

e x = 1 → x = 0

f 0 = e 0 - 1 - 0 = 0

Já que f 0 = 0 e f é crescente em 0 , ∞ :

f x ≥ 0 para x ≥ 0

e x - 1 - x ≥ 0

e x ≥ 1 + x

Passo 3

Vamos fazer f x = e x - 1 - x - 1 2 x 2 e analisar os sinais de f ' ( x ) :

Para x ≥ 0 nós temos:

f ' x = e x - 1 - x - 1 2 x 2 ' = e x - 0 - x 1 - 1 - 1 2 . 2 . x 2 - 1 = e x - 1 - x

Para x ≥ 0 , nós já provamos (no Passo 1) que e x ≥ 1 + x , logo, podemos dizer que f ' x = e x - 1 - x ≥ 0 .

f 0 = e 0 - 1 - 0 - 1 2 0 2 = 0

Já que f 0 = 0 e f é crescente em 0 , ∞ :

f ( x ) ≥ 0 para x ≥ 0 → e x - 1 - x - 1 2 x 2 ≥ 0 → e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2

Passo 4

Pela parte (a) o resultado vale para n = 1 , vamos supor que:

e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +   · · · + x k k ! para x ≥ 0

Fazendo:

f x = e x - 1 - x - x 2 2 ! - · · · - x k k ! - x k + 1 k + 1 !

Temos que f ' x é por suposição:

f ' x = e x - 1 - x - · · · - x k k ! ≥ 0

Consequentemente, f ( x ) é crescente em 0 , ∞ , então x ≥ 0 implica que:

0 = f ( 0 ) ≤ f x = e x - 1 - x - · · · - x k k ! - x k + 1 k + 1 !

E, consequentemente:

e x ≥ 1 + x + · · · + x k k ! + x k + 1 k + 1 ! para x ≥ 0

Assim, para x ≥ 0 , e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +   · · · + x n n ! para todo positivo n , pela indução matemática.

Resposta

Demonstração nos Passos.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados