Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 71
Suponha que seja derivável em um intervalo e para todos os números em , exceto para um único número . Demonstre que é uma função crescente em todo o intervalo.
Passo 1
Galerinha, essa é uma questão bem de provar os teoremas.Aqui temos uma função que é derivável em todo um intervalo e que possui derivada maior do que zero, isso indica que ela é crescente certo?Bom, mais ou menos, por que existe um número nesse intervalo, em que a derivada não é positiva.
Queremos provar que apesar disso, a função é crescente em todo o intervalo.Para isso, vamos analisar 4 casos, em que consideramos dois números , pertencentes ao intervalo, de forma que:
Caso :
Caso :
Caso :
Caso :
Caso :
E aplicando o teste Crescente/Decrescente e o Teorema do Valor Médio, vamos chegar numa resposta plausível.
Passo 2
Para mostrar que é crescente em vamos fazer , dois números em com .
Vamos analisar os casos:
Caso :
Seja o intervalo tal que e aplicando o Teste Crescente/Decrescente para em , vamos que cresce em , assim .
Passo 3
Caso :
Aplicando o Teste Crescente/Decrescente para em .
Passo 4
Caso :
Aplicando o Teste Crescente/Decrescente e usando o Teorema do Valor Médio no intervalo e observando que o Teorema do Valor Médio não requer que seja diferenciável no pontos da extremidade de , portanto a função é crescente nesse intervalo.
Passo 5
Caso :
Da mesma forma que no Caso .
Passo 6
Caso :
Pelos Casos e , é crescente em e em , assim .
Em todos os casos, nós temos que , e desde que , são quaisquer números em com ,nós mostramos que é crescente em .
Resposta
Desenvolvimento nos Passos