Enunciado

Suponha que f seja derivável em um intervalo I e f ' x > 0 para todos os números x em I , exceto para um único número c . Demonstre que f é uma função crescente em todo o intervalo.

Passo 1

Galerinha, essa é uma questão bem de provar os teoremas.Aqui temos uma função que é derivável em todo um intervalo e que possui derivada maior do que zero, isso indica que ela é crescente certo?Bom, mais ou menos, por que existe um número c nesse intervalo, em que a derivada não é positiva.

Queremos provar que apesar disso, a função é crescente em todo o intervalo.Para isso, vamos analisar 4 casos, em que consideramos dois números x 1 < x 2 , pertencentes ao intervalo, de forma que:

Caso 1 : x 1 < x 2 < c

Caso 2 : c < x 1 < x 2

Caso 3 : x 1 < x 2 = c

Caso 4 : c = x 1 < x 2

Caso 5 : x 1 < c < x 2

E aplicando o teste Crescente/Decrescente e o Teorema do Valor Médio, vamos chegar numa resposta plausível.

Passo 2

Para mostrar que f é crescente em I vamos fazer x 1 , x 2 dois números em I com x 1 < x 2 .

Vamos analisar os casos:

Caso 1 : x 1 < x 2 < c

Seja o intervalo J tal que x ∈ I | x < c e aplicando o Teste Crescente/Decrescente para f em J , vamos que f cresce em J , assim f x 1 < f ( x 2 ) .

Passo 3

Caso 2 : c < x 1 < x 2

Aplicando o Teste Crescente/Decrescente para f em K = x ∈ I | x > c .

Passo 4

Caso 3 : x 1 < x 2 = c

Aplicando o Teste Crescente/Decrescente e usando o Teorema do Valor Médio no intervalo x 1 , x 2 = c e observando que o Teorema do Valor Médio não requer que f seja diferenciável no pontos da extremidade de x 1 , x 2 , portanto a função é crescente nesse intervalo.

Passo 5

Caso 4 : c = x 1 < x 2

Da mesma forma que no Caso 3 .

Passo 6

Caso 5 : x 1 < c < x 2

Pelos Casos 3 e 4 , f é crescente em x 1 , c e em c , x 2 , assim f x 1 < f c < f x 2 .

Em todos os casos, nós temos que f x 1 < f x 2 , e desde que x 1 , x 2 são quaisquer números em I com x 1 < x 2 ,nós mostramos que f é crescente em I .

Resposta

Desenvolvimento nos Passos

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