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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 53

53-a) Encontre int_0^1 f (3 x + 1) d x se int_1^4 f (x) d x = 5

b) Encontre int_0^3 f (3 x) d x se int_0^9 f (x) d x = 5

c) Encontre int_(- 2)^0 x f ( x^2 ) d x se int_0^4 f (x) d x = 1

Passo 1

a)Galera, vamos começar fazendo uma substituição:

u = 3 x + 1

d u = 3 d x -> d x = (d u)/(3)

Portanto, se x = 0 , u = 1 . Se x = 1 , u = 4 .

Fazendo a substituição, nós temos:

(1)/(3) int_1^4 f (u) d u

Como int_1^4 f (x) d x = 5 . Então,

(1)/(3) int_1^4 f (u) d u = (1)/(3) xx 5 = (5)/(3)

Passo 2

b) Nesse item também vamos fazer uma substituição:

u = 3 x

d u = 3 d x -> d x = (d u)/(3)

Portanto, se x = 0 , u = 0 . Se x = 3 , u = 9 .

Fazendo a substituição, nós temos:

(1)/(3) int_0^9 f (u) d u

Como int_0^9 f (x) d x = 5 . Então,

(1)/(3) int_0^9 f (u) d u = (1)/(3) xx 5 = (5)/(3)

Passo 3

c) Nesse item também vamos fazer uma substituição:

u = x^2

d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Portanto, se x = - 2 , u = 4 . Se x = 0 , u = 0 .

Fazendo a substituição, nós temos:

(1)/(2) int_4^0 f (u) d u

Quiridosss, temos um problema :

A integral que a questão nos oferece é essa aqui:

int_0^4 x f (x) d x = 1

Perceberam que os extremos estão invertidos em relação a que nós encontramos ???

Mas nem precisa esquentar a cabeça porque sempre existe aquela propriedade que nos salva:

int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x

Assim,

- (1)/(2) int_0^4 f (u) d u

Agora sim:

- (1)/(2) int_0^4 f (u) d u = - (1)/(2) xx 1 = - (1)/(2)

Resposta

a ) (5)/(3)

b ) (5)/(3)

c ) - (1)/(2)

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