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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 29

Encontre o valor médio de f (x) = (x)/((5 x^2 + 1)^2) no intervalo [0 , 2] .

Passo 1

Então galera, assim como visto na seção 9 do Anton, para calcularmos o valor médio de uma função em um intervalo fechado, devemos resolver a seguinte expressão, se liga:

f_m = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Para a função que nos foi dada, temos que:

f_m = (1)/(2 - 0) int_0^2 (x)/((5 x^2 + 1)^2) d x

f_m = (1)/(2) int_0^2 (x)/((5 x^2 + 1)^2) d x

Então é essa integral que temos que resolver, pessoal! Bora lá!

Passo 2

Para resolvermos a integral em questão vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 5 x^2 + 1

Disso tiramos que:

d u = 10 x d x

:. (d u)/(10) = x d x

Substituindo na nossa integral:

(1)/(2) int_0^2 (x)/((5 x^2 + 1)^2) d x = (1)/(2 0) int_0^2 (d u)/(u^2)

Resolvendo:

(1)/(20) int_0^2 (d u)/(u^2) = - (1)/(20) ((1)/(u)) (2)/(0)

(1)/(20) int_0^2 (d u)/(u^2) = - (1)/(20) ((1)/(5 x^2 + 1)) (2)/(0)

(1)/(20) int_0^2 (d u)/(u^2) = - (1)/(20) ((1)/(5 (2)^2 + 1) - 1)

:. f_m = (1)/(2) int_0^2 (x)/((5 x^2 + 1)^2) d x = (1)/(21)

E esse é o valor médio da função dada!

Resposta

f_m = (1)/(21)

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