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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 44

43-44 Calcule a integral fazendo uma substituição u e, depois, integrando por partes.

44- ∫ cos ⁡ x   d x

Passo 1

Gente, vamos começar fazendo uma substituição, que é o que a questão pediu. Você pode estar pensando.... O que a gente vai substituir se essa é uma integração por partes ??? Quiridosss, estão vendo aquela x lá em cima dando bobeira... Eu acho que a nossa vida ficaria muito mais fácil se ela sumisse temporariamente.

Assim,

x = w

1 2 x d x = 1 2 w d x = d w

d x = 2 w   d w

Substituindo na integral:

2 ∫ w cos ⁡ w   d w

Pelo LIATE, nós temos:

u = w

d u = d w

e

d v = cos ⁡ w d w

v = ∫ cos ⁡ w   d w = s e n   w

Passo 2

Usando aquela regrinha manjada da integração por partes, nós temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Dessa forma,

∫ u   d v = w × cos ⁡ w - ∫ s e n   w   d w

∫ u   d v = w × cos ⁡ w + cos ⁡ w

Agora, vamos desfazer a substituição:

∫ u   d v = x × cos ⁡ x - cos ⁡ x

Galera, eu acho que nós estamos esquecendo de duas coisas:

Nós tínhamos colocado um 2 na frente da integral quando fizemos a substituição, lembra ?

Logo,

2 cos ⁡ x   ( x - 1   )

Também não podemos esquecer de colocar a famosa constante:

2 cos ⁡ x   x - 1   +   C

Fim !

Resposta

2 cos ⁡ x   x - 1   +   C

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Calculel ) int e^x cos x d x
Calculep ) int e^(- x) cos 2 x d x
Utilize o item (a) do exercício 3, calcule:a ) int sen^3 x d x
Utilize o item (a) do exercício 3, calcule:b ) int sen^4 x d x
Verifique que para todo natural n = 1 e todo real s0 .int t^n e^(- s t) d t = - (1)/(s) t^n e^(- s t) + (n)/(s) int t^(n - 1) e^(- s t) d t