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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 65

65- Encontre um valor positivo de k tal que a área sob o gráfico de y = e 2 x no intervalo [ 0 , k ] seja 3 unidades quadradas.

Passo 1

Galera, aqui o exercício não quer a resposta da integral, ele quer um dos extremos de integração, mas não se anime porque vamos ter que calcular a integral do mesmo jeito hahahah

Então vamos lá !!!

∫ 0 k e 2 x d x = 3

Resolvendo a integral:

u = 2 x

d u = 2   d x

d x = d u 2

Fazendo a substituição:

1 2 ∫ 0 k e u   d u = 1 2   e u 0 k

Desfazendo a substituição:

1 2   e 2 x 0 k

Passo 2

Assim,

1 2 e 2 k - 1 2 = 3

1 2 e 2 k = 3,5  

Usando as propriedades logarítmicas, temos:

2 k ln ⁡ e - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 3,5

2 k ln ⁡ e = ln ⁡ 3,5 + ln ⁡ 2

2 k = ln ⁡ ( 3,5 × 2 )

k = l n 7 2

Resposta

l n 7 2

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