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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 46b

46. b) Ache underset(h -> 0)(lim) (sec ((pi)/(6) + h) - sec ((pi)/(6)))/(h)

Interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Primeiro vamos lembrar da definição de derivada:

f^' (x) = underset(x -> 0)(l i m) (f (x + h) - f (x))/(h)

Comparando com a expressão que temos do enunciado a função f (x) = s e c x e o x = (pi)/(6) . Assim temos a seguinte igualdade:

f^' ((pi)/(6)) = underset(h -> 0)(lim) (s e c ((pi)/(6) + h) - s e c ((pi)/(6)))/(h)

Então para achar o limite, basta calcular a derivada de f (x) = s e c x , em x = (pi)/(6) .

Passo 2

Derivando:

f (x) = s e c x

f^' (x) = s e c x * t g x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(x) para x = (pi)/(6) :

f^' (x) = sec x * t g x

f^' ((pi)/(6)) = sec ((pi)/(6)) * t g ((pi)/(6))

= (1)/(c o s ((pi)/(6))) * t g ((pi)/(6))

= (1)/((sqrt(3))/(2)) * (sqrt(3))/(3)

= (2)/(sqrt(3)) * (sqrt(3))/(3) = (2)/(3)

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (sec ((pi)/(6) + h) - sec ((pi)/(6)))/(h) = (2)/(3)

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