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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 56

56. Se

y = (1)/(1 - 2 x)

Prove, por indução matemática, que

(d^n y)/(d x^n) = (2^n n !)/((1 - 2 x)^(n + 1))

Passo 1

Para provarmos o que o enunciado pede, primeiro precisamos assumir que essa conta funciona para um certo n=k. Então se provarmos que funciona para um n= k+1, vai funcionar para qualquer n, porque se para um certo número k o número seguinte também funciona.

Uma outra coisa necessária para resolver esse exercício é lembrar como o número fatorial funciona.

Exemplo:

4 ! = 4 * 3 * 2 * 1

5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

m ! = m * (m - 1) * (m - 2) * (m - 3) * * * *

Passo 2

Assumindo que para um certo valor n=k a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

y = (1)/(1 - 2 x)

(d^k y)/(d x^k) = (2^k k !)/((1 - 2 x)^(k + 1))

Passo 3

Agora escolhendo um n = k + 1 e realizando a derivada de ordem k + 1 :

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

((f (x))/(g (x)))^' = ((f (x)) ' * g ( x ) - (g (x)) ' * (f ( x )))/((g ( x ))^2)

Continuando a derivação:

(d^(k + 1))/(d x^(k + 1)) ((2^k k !)/((1 - 2 x)^(k + 1))) = ((2^k k !) ' * (1 - 2 x)^(k + 1) - ((1 - 2 x)^(k + 1)) ' * (2^k k !))/(((1 - 2 x)^(k + 1))^2)

= (0 - [(k + 1) (1 - 2 x)^k * (- 2)] * (2^k k !))/(((1 - 2 x)^(k + 1))^2)

= (2^(k + 1) (k + 1) k ! (1 - 2 x)^k)/((1 - 2 x)^(2 k) (1 - 2 x)^2)

= (2^(k + 1) (k + 1) k !)/((1 - 2 x)^(k + 2)) = (2^(k + 1) (k + 1) !)/((1 - 2 x)^(k + 2))

Logo,

(d^(k + 1))/(d x^(k + 1)) ((d^k)/(d x^k) ((1)/(1 - 2 x))) = (2^(k + 1) (k + 1) !)/((1 - 2 x)^(k + 2))

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Como pode ser visto, o que eu fiz foi induzir o pensamento para chegar à onde queríamos e provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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