Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 57
57. Se k for um inteiro positivo qualquer, prove, por indução matemática, que
Passo 1
Para provarmos o que o enunciado pede, primeiro precisamos assumir que essa conta funciona para um certo k=c. Então se provarmos que funciona para um k= c+1, vai funcionar para qualquer k, porque se para um certo número c o número seguinte também funciona.
Vamos fazer cada caso de n separadamente para facilitar nossa vida.
Mas antes vamos calcular as primeiras 4 derivadas de :
Elas vão ser uteis.
Passo 2
1º fazendo para :
Assumindo que para um certo valor a expressão do enunciado é verdadeira, temos:
Passo 3
Agora escolhendo um :
Mas como vimos no passo 1:
Então ficamos com:
Mas pelo passo 2,
Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.
Passo 4
2º fazendo para :
Assumindo que para um certo valor a expressão do enunciado é verdadeira, temos:
Passo 5
Agora escolhendo um :
Mas como vimos no passo 1:
Então ficamos com:
Mas pelo passo 4,
Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.
Passo 6
2º fazendo para :
Assumindo que para um certo valor a expressão do enunciado é verdadeira, temos:
Passo 7
Agora escolhendo um :
Mas como vimos no passo 1:
Então ficamos com:
Mas pelo passo 6,
Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.
Passo 8
3º fazendo para :
Assumindo que para um certo valor a expressão do enunciado é verdadeira, temos:
Passo 9
Agora escolhendo um :
Mas como vimos no passo 1:
Então ficamos com:
Mas pelo passo 8,
Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.
Passo 10
Com isso podemos que concluir que a derivada do enunciado é verdadeira para qualquer n.
Como pode ser visto, o que eu fiz foi induzir o pensamento para chegar a onde queríamos e provar o que o enunciado pedia
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)