Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 57
55 (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real.
(b) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento que contenha uma raiz.
Passo 1
Falaeee, belezinha?
Bom... essa questão possui dois itens, e no item a) ela quer que a gente demonstre que a equação abaixo tem, pelo menos, uma raiz real:
Para fazer isso podemos definir uma nova função que será a diferença entre as funções e . Assim haverá, pelo menos, uma raiz se:
- A função for continua num intervalo
- E se acharmos dois pontos tal que o e
Isso vai significar que a função cortou o eixo , tendo ali sua raiz.
Além disso, no item b) ela pede pra gente, utilizando uma calculadora, encontrar um intervalo de comprimento que contenha uma raiz.
E pra isso, não haverá muito jeito, faremos por tentativa e erro.
Mas fica tranquilo que vou te ajudar em todo o passo a passo. Vem comigo!
Passo 2
Pra começar, podemos definir a seguinte função:
Repare que essa função que definimos é continua e uma das formas de provarmos isso é usando o seguinte teorema. Olha só:
Seja e duas funções contínuas em e se , uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em :
- se
A função e o polinômio são contínuos em todo seu domínio.
E como vimos acima, no item 2 do teorema, a função diferença entre duas funções contínuas também será contínua,
Assim, vemos que nossa função é contínua em todo domínio.
Agora bora lá, procurar a tal raiz.
Passo 3
A ideia para provarmos que existe, pelo menos, uma raiz vai ser basicamente o seguinte:
- Provar que a função é continua num intervalo
- Achar dois pontos tal que o e
A primeira condição já foi. Então basta achar um valor de positivo e um negativo, pois assim, garantirmos que a curva irá cruzar o eixo , portanto, uma raiz. Olha só uma ilustração desse lance de cruzar o eixo :
Vamos ver
Para :
Achamos um valor positivo, agora basta acharmos um negativo. Como o de um número é no máximo , basta escolhermos um valor de tal que seja maior que 1.
Para :
E encontramos. Assim, pelo Teorema do Valor Intermediário, vemos que existe pelo menos uma raiz entre os pontos
e .
Passo 4
(b) Esse item é tentativa e erro. Usando uma calculadora vemos o seguinte.
Vamos escolher dois valores para que possuam diferença de unidades.
Vamos fazer:
Jogando na função, teremos:
Como os dois valores foram positivos, significa que a raiz não está nesse intervalo.
Vamos escolher outro intervalo.
Jogando na função, teremos:
Opa, achamos um valor positivo de e um valor negativo de tal que . Dessa maneira, o intervalo é:
E assim, matamos mais uma questão. Partiu próxima.
Resposta
a) Demonstração
b)