Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.5 - Ex. 56
56. Suponha que o nível de decibéis de um eco é 2/3 do nível de decibéis do som srcinal. Se cada eco resulta em outro eco, quantos ecos serão ouvidos a partir de um som de 120 dB, dado que o ouvido humano médio pode ouvir até no mínimo 10 dB?
Passo 1
Belezinha galera, temos que o nivel inicial de decibéis é de , e a cada eco ele diminui a o nível em , ou seja, no primeiro eco, temos:
Para o segundo eco, temos:
Para o terceiro eco, temos:
Ou seja, para o enésimo eco, teremos que
Passo 2
Então se queremos levar ele até um nivel de , onde o ouvido humano não escuta mais, vamos ter que:
E aplicando a função inversa da exponencial, dada pelo logaritmo, temos:
Trocando a base do nosso logaritmo para a base natural, temos que:
Chamando de e aplicando a propriedade do exponencial dentro do logaritmo, temos que:
E por fim, aplicando a propriedade da subtração de logaritmos, no denominador, temos o seguinte:
Logo:
Ou seja, serão ouvidos mais 6 ecos após a primeira emissão de som.
Resposta
Serão ouvidos mais 6 ecos.