57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.

58. lim x → 0 ⁡ a r c   t g   x x

Passo 1

Então galera, o resultado do Exercício 56 nos diz o seguinte: sabendo que L = lim x → 0 ⁡ f x x , então:

lim x → 0 ⁡ x f - 1 x = L

Sabemos que nossa f x = a r c   t g   x , certo? Então o que seria a inversa dessa função? De acordo com a trigonometria temos que:

f - 1 x = t g   x

Então vamos utilizar esse resultado, ok?

Passo 2

Substituindo o que encontramos no passo anterior:

lim x → 0 ⁡ x t g   x

Como t g   x = s e n   x cos ⁡ x , então:

lim x → 0 ⁡ x s e n   x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x . cos ⁡ x s e n   x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x . lim x → 0 ⁡ x s e n   x

O primeiro limite tem como resultado:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ 0 = 1

Agora para o segundo limite vamos dividir todos os termos por x , ok? Fazendo isso teremos:

lim x → 0 ⁡ x x s e n   x x = lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ s e n   x x

O limite do denominador é o limite trigonométrico fundamental, galera! Caso não se lembrem, ele vale 1 , logo:

lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1 1 = 1

Dessa forma, temos que:

lim x → 0 ⁡ x t g   x = 1

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

lim x → 0 ⁡ a r c   t g   x x = 1

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