Suponha que f : 0,1 → R seja contínua, f 0 = 1 e que f x é racional para todo x em 0,1 . Prove que f x = 1 para todo x em 0,1 .

Passo 1

Por definição, entre dois números racionais, temos pelo menos um irracional. No enunciado, temos que x é racional para todo x em seu domínio, se adotássemos valores f x ≠ 1 para x ≠ 0 , teríamos “saltos” na função para que alocássemos apenas valores racionais. Isso é impossível pois uma função com saltos não é contínua e portando não respeitaríamos as restrições do enunciado.

Logo, f x = 1 , obrigatoriamente, para x em 0,1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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