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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 3

Seja α a menor raiz positiva da equação x 3 - 4 x + 2 = 0 . Determine os intervalos de amplitudes 1 2 , 1 4 e 1 8 que contenham α .

Passo 1

Se temos uma raiz em cada um dos intervalos - 3 , - 2 , 0,1 e 1,2 , a menor raiz positiva estará no intervalo 0,1

Quando x = 0 temos:

f 0 = 0 3 - 4 0 + 2 = 2

Quando x = 1 temos:

f 1 = 1 3 - 4 1 + 2 = - 1

Dividindo o intervalo no meio, temos o valor x = 1 2 no centro:

Quando x = 1 2 temos:

f 1 2 = 1 2 3 - 4 1 2 + 2 = 1 8

Então a raiz está entre 1 2 e 1 , pois se f 1 = - 1 e f 1 2 = 1 8 temos um zero no caminho. Então, o intervalo que contém α de amplitudes 1 2 é 1 2 , 1 .

Passo 2

Para a amplitude de 1 4 , repetimos o processo com o centro do intervalo 1 2 , 1 que é 3 4

f 3 4 = 3 4 3 - 4 3 4 + 2 = - 37 64

Assim temos que α está entre 1 2 e 3 4 . Então, o intervalo que contém α de amplitudes 1 4 é 1 2 , 3 4 .

Passo 3

Para o intervalo de amplitude 1 8 :

f 5 8 = 5 8 3 - 4 5 8 + 2 = - 131 512

Assim temos que α está entre 1 2 e 5 8 . Então, o intervalo que contém α de amplitudes 1 8 é 1 2 , 5 8 .

Resposta

Os intervalos de amplitudes 1 2 , 1 4 e 1 8 são, respectivamente, 1 2 , 1 , 1 2 , 3 4 e 1 2 , 5 8

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