57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.

59. lim x → 0 ⁡ a r c   s e n   5 x x

Passo 1

Então galera, o resultado do Exercício 56 nos diz o seguinte: sabendo que L = lim x → 0 ⁡ f x x , então:

lim x → 0 ⁡ x f - 1 x = L

Sabemos que nossa f c = a r c   s e n   5 x , certo? Então o que seria a inversa dessa função? De acordo com a trigonometria temos que:

f - 1 x = s e n   5 x

Então vamos utilizar esse resultado, ok?

Passo 2

Antes de resolvermos nosso limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pro 5 , se liga:

  lim x → 0 ⁡ 5 a r c   s e n   5 x 5 x = 5 lim x → 0 ⁡ a r c   s e n   5 x 5 x

Tudo bem, agora utilizando o resultado do passo anterior:

5 lim x → 0 ⁡ a r c   s e n   5 x 5 x = 5 lim x → 0 ⁡ 5 x s e n   5 x

Se dividirmos todos os membros por 5 x teremos:

5 lim x → 0 ⁡ 5 x 5 x s e n   5 x 5 x = 5 lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ s e n   5 x 5 x

O limite do denominador é o limite trigonométrico fundamental, galera! Caso não se lembrem, ele vale 1 , logo:

5 lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ s e n   5 x 5 x = 5.1 1 = 5

Dessa forma, temos que:

lim x → 0 ⁡ a r c   s e n   5 x x = 5

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

lim x → 0 ⁡ a r c   s e n   5 x x = 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados