f x = x 2 + x x + 1     ,     s e x ≠ - 1 2     ,     s e x = - 1

é contínua em -1 ? E em 0 ? Por quê?

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho? Vamos resolver mais um exercício proposto pelo meu digníssimo amigo Guidorizzi! A questão pede pra gente provar continuidade de uma função. Pra isso, temos que usar a seguinte fórmula:

lim x → a ⁡ f x = f a

Se ela for válida pra um x = a escolhido, então a função é contínua nesse ponto, pescou? Vamos estar então, já que o enunciado pede, pra:

a = 0

a = - 1

Partiu!!

Passo 2

Bora começar então com a = 0 . Pra isso, olhando nossa função:

f x = x 2 + x x + 1     ,     s e x ≠ - 1 2     ,     s e x = - 1

Veja só, o número 0 está contido no intervalo de x :

x ≠ - 1

Que é o mesmo que:

x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1 , + ∞

Nesse intervalo, a lei de que vale é a primeira. Portanto é ela que usaremos no limite

lim x → 0 ⁡ x 2 + x x + 1 = 0 2 + 0 0 + 1 = 0

Agora, como x = 0 ≠ - 1 , vamos ter que:

f 0 = 0 2 + 0 0 + 1 = 0

Então taí! De fato, quando a = 0 , é válido:

lim x → a ⁡ f x = f a

Passo 3

Agora bora ver pra a = - 1 . Pra isso, olhando nossa função:

f x = x 2 + x x + 1     ,     s e x ≠ - 1 2     ,     s e x = - 1

Vemos que x = - 1 é a fronteira do intervalo:

x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1 , + ∞

Portanto enquanto x se aproxima de - 1 , a lei de formação continua sendo a primeira, só mudando pra f x = 2 quando x é exatamente igual a - 1 . Ou seja, o limite será feito da seguinte forma:

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x + 1 = - 1 2 - 1 - 1 + 1 = 0 0

Opa, deu uma indeterminação! Temos então que tentar reescrever o limite pra sumir com ela. Pra isso, basta notar que dá pra por x em evidência:

l im x → - 1 ⁡ x 2 + x x + 1 = lim x → - 1 ⁡ x x + 1 x + 1 = lim x → - 1 ⁡ x = - 1

Po, mas como vimos, vamos ter:

f - 1 = 2

Então dessa vez, como:

lim x → a ⁡ f x ≠ f a

Para a = - 1 , dizemos que f x não é contínua em - 1 . Feshow!!!

Resposta

f não é contínua em x = - 1 e é contínua em x = 0

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