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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 3

f (x) = {[[(x^2 + x)/(x + 1) , s e x != - 1],[2 , s e x = - 1]])

é contínua em - 1 ? E em 0 ? Por quê?

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho? Vamos resolver mais um exercício proposto pelo meu digníssimo amigo Guidorizzi! A questão pede pra gente provar continuidade de uma função. Pra isso, temos que usar a seguinte fórmula:

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Se ela for válida pra um x = a escolhido, então a função é contínua nesse ponto, pescou? Vamos estar então, já que o enunciado pede, pra:

a = 0

a = - 1

Partiu!!

Passo 2

Bora começar então com a = 0 . Pra isso, olhando nossa função:

f (x) = {[[(x^2 + x)/(x + 1) , s e x != - 1],[2 , s e x = - 1]])

Veja só, o número 0 está contido no intervalo de x :

x != - 1

Que é o mesmo que:

x in (- oo , - 1) uu (- 1 , + oo)

Nesse intervalo, a lei de que vale é a primeira. Portanto é ela que usaremos no limite

underset(x -> 0)(lim) (x^2 + x)/(x + 1) = ((0)^2 + 0)/(0 + 1) = 0

Agora, como x = 0 != - 1 , vamos ter que:

f (0) = ((0)^2 + 0)/(0 + 1) = 0

Então taí! De fato, quando a = 0 , é válido:

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Passo 3

Agora bora ver pra a = - 1 . Pra isso, olhando nossa função:

f (x) = {[[(x^2 + x)/(x + 1) , s e x != - 1],[2 , s e x = - 1]])

Vemos que x = - 1 é a fronteira do intervalo:

x in (- oo , - 1) uu (- 1 , + oo)

Portanto enquanto x se aproxima de - 1 , a lei de formação continua sendo a primeira, só mudando pra f (x) = 2 quando x é exatamente igual a - 1 . Ou seja, o limite será feito da seguinte forma:

underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + x)/(x + 1) = ((- 1)^2 - 1)/(- 1 + 1) = (0)/(0)

Opa, deu uma indeterminação! Temos então que tentar reescrever o limite pra sumir com ela. Pra isso, basta notar que dá pra por x em evidência:

underset(x -> - 1)(l im) (x^2 + x)/(x + 1) = underset(x -> - 1)(lim) (x (x + 1))/(x + 1) = underset(x -> - 1)(lim) x = - 1

Po, mas como vimos, vamos ter:

f (- 1) = 2

Então dessa vez, como:

underset(x -> a)(lim) f (x) != f (a)

Para a = - 1 , dizemos que f (x) não é contínua em - 1 . Feshow!!!

Resposta

f não é contínua em x = - 1 e é contínua em x = 0

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Do gráfico de g , diga os intervalos em que g é contínua.
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. f x =2 x + 3 x - 2 , ( 2 ,∞ )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . h t = 2 t - 3 t 2 1 + t 3 , e ma = 1 .
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. g x =2 3 - x , ( - ∞ ,3 ]