- Seja um número real positivo, seja e seja . Mostre que para algum índice e para algum índice ,
Uma vez que todos os termos , aparecem em algum lugar na sequência , existe um índice tal que, se , então é no máximo uma soma dos termos com . Portanto, se ,
- O argumento no item (a) mostra que se converge absolutamente, então converge e . Agora, mostre que converge para , porque converge.
Uma vez que todos os termos , aparecem em algum lugar na sequência , existe um índice tal que, se , então é no máximo uma soma dos termos com . Portanto, se ,
Passo 1
Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Sequências Infinitas e Séries!
- Considerando que converge para um valor X, para existe um número inteiro tal que
- Sabemos agora que converge absolutamente para um valor X. Portanto, existe um tal que
Desenvolvendo matematicamente essa expressão, temos:
Além disso, converge para um valor L, para existe um número inteiro , que pode ser maior ou igual tal que:
Passo 2
Agora, temos que todos os termos na sequência aparecem em . Somando todos os termos da primeira sequência, na ordem, até incluir todos os termos da segunda sequência, e deixando ser o maior índice na soma.
Dessa forma, que converge para , porque converge.
Resposta
- converge para , porque converge.