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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 68

  1. Seja ∈ um número real positivo, seja L = ∑ n = 1 ∞ a n e seja s k = ∑ n = 1 k a n . Mostre que para algum índice N 1 e para algum índice N 2 ≥ N 1 ,

    2. ∑ n = 1 k a n < ∈ 2

    s N 2 - L < ∈ 2

    Uma vez que todos os termos a 1 ,   a 2 ,   … ,   a N 2 , aparecem em algum lugar na sequência { b n } , existe um índice N 3 ≥ N 2 tal que, se n ≥ N 3 , então ( ∑ k = 1 n b k ) - s N 2 é no máximo uma soma dos termos a m com m ≥ N 1 . Portanto, se n ≥ N 3 ,

    ∑ k = 1 n b k - L ≤ ∑ k = 1 n b k - S N 2 + S N 2 - L ≤ ∑ k = N 1 ∞ | a k | + S N 2 - L < ϵ

  2. O argumento no item (a) mostra que se ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente, então ∑ n = 1 ∞ b n converge e ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ a n . Agora, mostre que ∑ n = 1 ∞ | b n | converge para ∑ n = 1 ∞ | a n | , porque ∑ n = 1 ∞ | a n | converge.

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Sequências Infinitas e Séries!

  1. Considerando que ∑ | a n | converge para um valor X, para ∈ > 0 existe um número inteiro N 1 tal que

    2. ∑ n = 1 N 1 - 1 | a n | - M < ∈ 2

    Desenvolvendo matematicamente essa expressão, temos:

    ∑ n = N 1 ∞ | a n | < ∈ 2

    Além disso, ∑ a n converge para um valor L, para ∈ > 0 existe um número inteiro N 2 , que pode ser maior ou igual N 1 tal que:

    | s N 2 - L | < ∈ 2

    Passo 2

  2. Sabemos agora que ∑ n = N 1 ∞ | a n | converge absolutamente para um valor X. Portanto, existe um N 1 tal que

∑ n = 1 k a n - M < ∈ s e m p r e   q u e   k > N 1

Agora, temos que todos os termos na sequência { | b n | } aparecem em { | a n | } . Somando todos os termos da primeira sequência, na ordem, até incluir todos os termos da segunda sequência, e deixando N 2 ser o maior índice na soma.

Dessa forma, que ∑ n = 1 ∞ | b n | converge para ∑ n = 1 ∞ | a n | , porque ∑ n = 1 ∞ | a n | converge.

Resposta

  1. ∑ n = N 1 ∞ | a n | < ∈ 2 | s N 2 - L | < ∈ 2
  2. ∑ n = 1 ∞ | b n | converge para ∑ n = 1 ∞ | a n | , porque ∑ n = 1 ∞ | a n | converge.

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