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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 5

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 5-8 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

5. a 1 = 1 ,     a n + 1 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) a n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A série ∑ n = 1 ∞ a n é definida pela seguinte fórmula

a 1 = 1 ,   a n + 1 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) a n

O termo da série dada pode ser escrito da seguinte forma

a 1 = 1 = 12 1 3 2 2

a 2 = 1 ∙ 2 3 ∙ 4 = 12 2 4 3 2

a 3 = 2 ∙ 3 4 ∙ 5 1 ∙ 2 3 ∙ 4 = 12 3 5 4 2

a 4 = 3 ∙ 4 5 ∙ 6 2 ∙ 3 4 ∙ 5 1 ∙ 2 3 ∙ 4 = 12 4 6 5 2

…

Logo, nós temos que

a n = 1 + ∑ n = 1 ∞ 12 n + 1 n + 2 2 ( n + 3 )

Passo 2

Tendo em mente que para todo n ∈ N , nós obtemos que

12 n + 1 n + 2 2 n + 3 < 12 n 4

Claramente, a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

É uma série p, como p = 4 > 1 , então a série é convergente.

Resposta

1 + ∑ n = 1 ∞ 12 n + 1 n + 2 2 ( n + 3 )   é   c o n v e r g e n t e

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