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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 59

59- Valor médio Uma força de retardamento, simbolizada pelo amortecedor na figura a seguir, freia o movimento da massa presa à mola, de modo que a posição da massa no instante t é:

y = 2 e - t cos ⁡ t ,       t ≥ 0

Determine o valor médio de y no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Para calcular o valor médio de uma função temos que aplicar a seguinte fórmula:

v a l o r   m e d i o = 1 b - a × ∫ a b f x d x

Onde a e b são os valores do nosso intervalo.

Passo 2

Fazendo a = 0 e b = 2 π temos:

V m = 1 2 π ∫ 0 2 π 2 e - t ( cos ⁡ t ) d t

V m = 2 2 π     ∫ 0 2 π ( e - t cos ⁡ t ) d t  

Passo 3

Precisamos fazer duas integrações por partes a primeira :

u = c o s   t → d u = - s e n   t

d v = e - t → v = - e - t

Logo:

∫ e - t c o s t = - e - t c o s   t - ∫ e - t s e n   t

Fazendo essa outra integração por partes (só mais essa ok?)

u = s e n   t → d u = cos ⁡ t

d v = e - t → v = - e - t

∫ e - t s e n t = - e - t s e n   t - ∫ - e - t   c o s t

Vamos substituir essa ultima integral na primeira integral desse passo:

∫ e - t cos ⁡ t = - e - t c o s   t - [ - e - t s e n t + ∫ e - t c o s t ]  

∫ e - t cos ⁡ t = - e - t c o s t + e - t s e n t - ∫ e - t c o s t

Jogando ∫ e - t c o s   t para o outo lado temos:

2 ∫ e - t c o s   t = e - t ( s e n   t - cos ⁡ t )

Logo:

∫ e - t c o s   t = e - t 2 ( s e n t - cos ⁡ t )

Passo 4

Isso tudo só para aplicar no valor médio:

V m = 1 2 π [ e - t ( s e n   t - cos ⁡ t ) ]     0 2 π

Aplicando o intervalo:

V m = 1 2 π [ e - 2 π ( s e n   π - cos ⁡ 2 π ) - e 0 ( s e n   0 - c o s 0 ) ]  

V m = 1 2 π e - 2 π - 1 - 1 0 - 1

V m = 1 2 π 1 - e - 2 π

Resposta

v a l o r   m e d i o = 1 2 π 1 - e - 2 π

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