Determine a área da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para

a. .

b.

c..

d. Que padrão pode ser reconhecido aqui? Qual é a área entre a curva e o eixo das abscissas para , sendo n um inteiro arbitrário não negativo? Justifique sua resposta.

Vamos resolver primeiramente a letra “a”, para isso aplicamos integral definida na função y pelos limites de x:

a.

Resolveremos essa integral por partes como se fosse uma integral indefinida para facilitar os cálculos :

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes:

Agora aplicamos a integral definida:

O motivo de ter aparecido negativo é a posiçao da função no quadrante. Como não existe área negativa multiplicamos por:

Agora iremos resolver a letra “b” de forma parecida de como resolvemos acima, mas mudando os valores dos limites de x:

b..

Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:

Para resolver a letra “c” faremos de forma parecida de como resolvemos as duas letras acima, mas mudando os valores dos limites de x:

C.

Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:

O motivo de ter aparecido negativo é a posiçao da função no quadrante. Como não existe área negativa multiplicamos por:

Agora para resolver a letra “d” é preciso observar um padrão que é seguido, se compararmos os resultado é possível notar que a area é a soma dos limites de x, por exemplo:

A area vai ser :

podemos ver que nas letras “a”,”b” e “c” o padrão de resultados aponta que: