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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 30

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x c o s 2   x d x

Passo 1

Temos que:

∫ x c o s 2   x d x = ∫ x 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 ∫ x   d x + 1 2 ∫ x cos ⁡ 2 x d x

Utilizando a integração por partes, temos:

u =   x ;

d u = d x ;

d v = cos ⁡ 2 x d x ;

v = ∫ cos ⁡ 2 x d x = 1 2 s e n   2 x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = 1 2 ∫ x   d x + 1 2 ∫ x cos ⁡ 2 x d x

∫ u d v = 1 2 ⋅ x 2 2 + 1 2 x ⋅ 1 2 s e n   2 x - ∫ 1 2   s e n   2 x   d x

∫ u d v = x 2 4 + x 4 s e n   2 x + 1 8 cos ⁡ 2 x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x 2 4 + x 4 s e n   2 x + 1 8 cos ⁡ 2 x + c

Resposta

x 2 4 + x 4 s e n   2 x + 1 8 cos ⁡ 2 x + c

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Use a integração por partes para provar a fórmula de redução. ∫ x 2 + a 2 n d x = x x 2 + a 2 n 2 n - 1 + 2 n a 2 2 n + 1 ∫ x 2 + a 2 n - 1 d x( n ≠ - 1 2 )
Avalie a integral. ∫ π 4 π 2 xcsc 2 ⁡ x d x
Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral. ∫ x 5 e x 2 d x
Avalie a integral. ∫ x 2 cos ⁡ m x d x
Avalie a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. ∫ x ln ⁡ x d x ; u = ln ⁡ x d v = xd x