4. y = raiz(3 - x^2); n = 2

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Se reescrevermos a derivada com a raiz na forma de expoente, podemos aplicar a regra da cadeia.

y = f g x

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y ' = f ' g x ∙ g ' x

E lembrando que a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

  y = 3 -   x 2

Reescrevemos y , na forma que a raiz fique como expoente para aplicar a regra da cadeia

y = 3 - x 2 1 2  

Realizando a primeira derivada, temos

y ' = 1 2 3 - x 2 1 2 - 1 ∙ - 2 ∙ x 2 - 1

y ' = 1 2 3 - x 2 - 1 2 ∙ - 2   x

Reorganizando temos

y ' = - 2 ∙ 1 2 3 - x 2 - 1 2 ∙ x

Simplificando a fração por 2 , e reoganizando

y ' = - x ∙ 3 - x 2 - 1 2

Passo 4

Agora temos também uma derividada da multiplicação

y = u v

Onde

y ' = u ' v + u v '

Passo 5

Agora para realizar a segunda derivada, vamos separ em duas partes, u   e v

Onde u = - x e v = 3 - x 2 - 1 2 , assim faremos as derivadas e depois jutaremos

Primeiro

u = - x

u ' = - 1

Segundo

  v = 3 - x 2 - 1 2

v ' =   - 1 2 ∙ 3 - x 2 - 3 2 ∙ - 2   x

Reorganizando

v ' = - 2 ∙ 1 2 ∙ 3 - x 2 - 3 2 ∙ x

Simplificando a fração por 2 , e reorganizando

v ' = - x ∙ 3 - x 2 - 3 2

Passo 6

Juntando as partes

y ' ' = - 3 - x 2 - 1 2 - x 2 ∙ 3 - x 2 - 3 2

Reorganizando

y ' ' = - 1 3 - x 2 1 2 - x 2 3 - x 2 3 2

Realizando o mínimo múltiplo comum (MMC), analizando a parte de baixo das frações, podemos expandir 3 - x 2 3 2

y ' ' = - 1 3 - x 2 1 2 - x 2 3 - x 2 1 2 ∙ 3 - x 2 1 2 ∙ 3 - x 2 1 2

Como 3 - x 2 1 2 é termo comum em ambas as frações podemos usar 3 - x 2 3 2 como fator comum para MMC.

Lembrando que no MMC, divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima na fração

y ' ' = - 3 - x 2 3 - x 2 3 2 - x 2 3 - x 2 3 2

y ' ' = - 1 ( 3 - x 2 ) - x 2 3 - x 2 3 2

Relizando a multiplicação

y ' ' = - 3 + x 2 - x 2 3 - x 2 3 2

Realizando a subtração e reorganizando

y ' ' = - 3 3 - x 2 3

Reorganizando novamente

y ' ' = - 3 3 - x 2 2 ∙ ( 3 - x 2 )

Podemos tirar 3 - x 2 2 para fora da raíz

y ' ' = - 3 3 - x 2 ∙ 3 - x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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