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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 4

4. y = sqrt(3 - x^2) ; n = 2

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Se reescrevermos a derivada com a raiz na forma de expoente, podemos aplicar a regra da cadeia.

y = f (g (x))

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

E lembrando que a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

y = sqrt(3 - x^2)

Reescrevemos y , na forma que a raiz fique como expoente para aplicar a regra da cadeia

y = (3 - x^2)^((1)/(2))

Realizando a primeira derivada, temos

y^' = (1)/(2) (3 - x^2)^((1)/(2) - 1) * (- 2 * x^(2 - 1))

y^' = (1)/(2) (3 - x^2)^(- (1)/(2)) * (- 2 x)

Reorganizando temos

y^' = - 2 * (1)/(2) (3 - x^2)^(- (1)/(2)) * x

Simplificando a fração por 2 , e reoganizando

y^' = - x * (3 - x^2)^(- (1)/(2))

Passo 4

Agora temos também uma derividada da multiplicação

y = u v

Onde

y^' = u^' v + u v '

Passo 5

Agora para realizar a segunda derivada, vamos separ em duas partes, u e v

Onde u = - x e v = (3 - x^2)^(- (1)/(2)) , assim faremos as derivadas e depois jutaremos

Primeiro

u = - x

u^' = - 1

Segundo

v = (3 - x^2)^(- (1)/(2))

v^' = - (1)/(2) * (3 - x^2)^(- (3)/(2)) * (- 2 x)

Reorganizando

v^' = - 2 * (1)/(2) * (3 - x^2)^(- (3)/(2)) * x

Simplificando a fração por 2 , e reorganizando

v ' = - x * (3 - x^2)^(- (3)/(2))

Passo 6

Juntando as partes

y^(' ') = - (3 - x^2)^(- (1)/(2)) - x^2 * (3 - x^2)^(- (3)/(2))

Reorganizando

y^(' ') = - (1)/((3 - x^2)^((1)/(2))) - (x^2)/((3 - x^2)^((3)/(2)))

Realizando o mínimo múltiplo comum (MMC), analizando a parte de baixo das frações, podemos expandir (3 - x^2)^((3)/(2))

y^(' ') = - (1)/((3 - x^2)^((1)/(2))) - (x^2)/((3 - x^2)^((1)/(2)) * (3 - x^2)^((1)/(2)) * (3 - x^2)^((1)/(2)))

Como (3 - x^2)^((1)/(2)) é termo comum em ambas as frações podemos usar (3 - x^2)^((3)/(2)) como fator comum para MMC.

Lembrando que no MMC, divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima na fração

y^(' ') = - (3 - x^2)/((3 - x^2)^((3)/(2))) - (x^2)/((3 - x^2)^((3)/(2)))

y^(' ') = (- 1 ( 3 - x^2 ) - x^2)/((3 - x^2)^((3)/(2)))

Relizando a multiplicação

y^(' ') = (- 3 + x^2 - x^2)/((3 - x^2)^((3)/(2)))

Realizando a subtração e reorganizando

y^(' ') = (- 3)/(sqrt((3 - x^2)^3))

Reorganizando novamente

y^(' ') = (- 3)/(sqrt((3 - x^2)^2 * ( 3 - x^2 )))

Podemos tirar (3 - x^2)^2 para fora da raíz

y^(' ') = (- 3)/((3 - x^2) * sqrt(3 - x^2))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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