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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 15

15. Mostrar que a derivada de ordem n da função f ( x ) = e a x é dada por y n = a n e a x

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Derivando a função até que seja possível observar um padrão

f ( x ) = y = e a x

Realizando a primeira derivada

Regra da cadeia, que é a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y ' = f ' g x ∙ g ' x

Temos

f = e a x e g ( x )   = a x

f ' = e a x

g ' x = a

Aplicando na fórmula

y ' = e a x ∙ a    

Reorganizando

y ' = a ∙ e a x

Passo 3

Realizando a segunda derivada

y ' = u ' v + u v '

Onde u = a e v = e a x

Para u '

u = a

u ' = 0

Para v '

v = e a x

v ' = f ' g x ∙ g ' x

Temos

f = e a x e g ( x )   = a x

f ' = e a x

g ' x = a

Aplicando na fórmula

v ' = e a x ∙ a    

Reorganizando

v = a ∙ e a x

Retornando para y '

y ( 2 ) = 0 ∙ e a x + a ∙ a ∙ e a x

y ( 2 ) = a 2 ∙ e a x

Podemos considerar 2 = n

y ( n ) = a n ∙ e a x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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