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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 60

60. Use a substituição do Exercício 59 para transformar o integrante em uma função racional de t e então calcule a integral

∫ d x 1 - c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Do Exercício 59 sabemos o seguinte:

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2

d x = 2 1 + t 2 d t

Onde t = t g x 2

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ d x 1 - c o s ⁡ ( x )

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ 1 1 - 1 - t 2 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t

Assim,

I = ∫ 1 + t 2 2 t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t

Isto é,

I = ∫ 1 t 2 d t

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

I = ∫ 1 t 2 d t

Resolvendo a integral, temos:

I = t - 2 + 1 - 2 + 1 + C

Então,

I = - 1 t + C

Como t = t g x 2 :

I = - c o t g x 2 + C

Resposta

- c o t g x 2 + C

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