62. Considere a família de curvas .

a) Use um recurso gráfico computacional para gerar alguns membros dessa família.

b) Discuta o efeito da variação de na forma do gráfico e a localização tanto dos extremos relativos como dos pontos de inflexão.

b) Pelos gráficos parece que quanto mais aumentamos , mais o gráfico “afina”, mas sem alterar o ponto de máximo, que está em . Enfim, essa é só a percepção que temos! Para provarmos isso temos que encontrar as derivadas primeira e segunda a fim de analisar os pontos de extremos e inflexões. Derivando nossa função, teremos:

Igualando a zero, teremos:

Como nunca será zero, então a única forma disso dar zero é se:

Olha que interessante; assim como notamos no gráfico, há apenas um ponto de extremo, que é exatamente em , independente do valor de . Logo, esse é nosso ponto de extremo e quando alteramos , ele não altera em nada! Agora vamos ver quanto aos pontos de inflexão!

Encontrando nossa derivada segunda, teremos:

Igualando a zero, teremos:

Note que diferentemente do ponto de extremo, os pontos de inflexão dependem de . Para a raíz positiva, quanto mais aumentarmos , menor o valor de será, o que implica em um menor também. Para a raíz negativa o mesmo acontece, mas agora negativamente. Essa análise condiz com os gráficos do passo 1, uma vez que quando aumentamos os valores de o gráfico começou a afinar.

E está aí nossa resolução, pessoal!