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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 47

Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de x = y e y = ( x 3 - 8 ) / ( x 2 + 1 ) juntos no intervalo - 5 ,   5 e faça uma conjectura sobre a relação entre eles.

Confirme a conjectura em (a).

Passo 1

(a ) O gráfico pode ser dado por:

Analisando o gráfico, vemos que as duas função se comportam de maneira semelhante, exceto nos pontos de x = - 2 até x = 2 .

Passo 2

(b ) Analisando a derivada da função x = y :

d y d x = 1

Analisando a derivada da função y = ( x 3 - 8 ) / ( x 2 + 1 )

d y d x = 3 x 2 x 2 + 1 - 2 x ( x 3 - 8 ) x 2 + 1 2 = x 4 + 3 x 2 + 16 x x 2 + 1 2

Quando olhamos o limite de y ' no em x → ±   ∞ , ficamos com:

lim x → ± ∞ ⁡ x 4 + 3 x 2 + 16 x x 2 + 1 2 = l i m x → ± ∞ x 4 + 3 x 2 + 16 x x 4 1 x 2 + 1 2 = l i m x → ± ∞     ( x 4 / x 4   )     = 1    

Como d y d x = 1   e l i m x → ± ∞ = 1 , a inclinação de y é igual a inclinação da reta.

Resposta

Como d y d x = 1   e l i m x → ± ∞ = 1 , a inclinação de y é igual a inclinação da reta.

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