63) Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro e pelo plano
Passo 1
Fala galerinha tranquilidade? Vamos resolver mais uma questão!
O enunciado pede pra que a gente calcule o volume de uma cunha delimitada por:
E
Para isso, podemos utilizar a integral tripla:
Que pode ser escrita na forma:
Onde é a região sob o plano , onde teremos
Com isso, vamos a luta!
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos organizar nossa integral! Temos:
Podemos substituir o valor no limite de integração, e teremos:
Realizando a integral interna, teremos:
Agora, repare! Nosso elemento pode ser escrito como:
Sendo assim, temos a nossa integral como:
Agora, vamos resolver com calma!
Passo 3
Vamos resolver a integral em relação a . Com isso, temos:
Repare que nosso limite de integração já foi substituído na integral. Resolvendo, temos que:
Avaliando nos limites de integração, teremos:
Simplificando a expressão, temos:
Substituindo na nossa integral de volume, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral com relação a . Temos que:
Resolvendo cada parte da integral, teremos:
Resolvendo, temos:
Juntando nossos resultados, temos:
Ou seja: