63) Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 - 3y^2 e pelo plano x + y = 2

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade? Vamos resolver mais uma questão!

O enunciado pede pra que a gente calcule o volume de uma cunha delimitada por:

z = 12 - 3 y 2

E

x + y = 2

Para isso, podemos utilizar a integral tripla:

V = ∭ V d V

Que pode ser escrita na forma:

V = ∬ D ∫ 0 z ' d z   d A

Onde D é a região sob o plano x y , onde teremos

0 ≤ x ≤ 2 - y

0 ≤ y ≤ 2

Com isso, vamos a luta!

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos organizar nossa integral! Temos:

V = ∬ D ∫ 0 z ' d z   d A

Podemos substituir o valor no limite de integração, e teremos:

V = ∬ D ∫ 0 12 - 3 y 2 d z   d A

Realizando a integral interna, teremos:

V = ∬ D 12 - 3 y 2   d A  

Agora, repare! Nosso elemento d A pode ser escrito como:

d A = d x   d y

Sendo assim, temos a nossa integral como:

V = ∬ D 12 - 3 y 2   d x d y

Agora, vamos resolver com calma!

Passo 3

Vamos resolver a integral em relação a x . Com isso, temos:

∫ 0 2 - y 12 - 3 y 2 d x

Repare que nosso limite de integração já foi substituído na integral. Resolvendo, temos que:

∫ 12 - 3 y 2 d x = 12 x - 3 x y 2

Avaliando nos limites de integração, teremos:

∫ 0 2 - y 12 - 3 y 2 d x = 12 2 - y - 3 2 - y y 2

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 2 - y 12 - 3 y 2 d x = 24 - 12 y - 6 y 2 + 3 y 3

Substituindo na nossa integral de volume, temos:

V = ∫ 24 - 12 y - 6 y 2 + 3 y 3   d y

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral com relação a y . Temos que:

V = ∫ 0 2 24 - 12 y - 6 y 2 + 3 y 3   d y

Resolvendo cada parte da integral, teremos:

∫ 0 2 24 - 12 y - 6 y 2 + 3 y 3   d y = ∫ 0 2 24   d y - ∫ 0 2 12 y d y - ∫ 0 2 6 y 2 d y + ∫ 0 2 3 y 3 d y

Resolvendo, temos:

∫ 0 2 24   d y = 48

∫ 0 2 12 y d y = 12 ⋅ y 2 2 0 2 = 24

∫ 0 2 6 y 2 d y = 6 ⋅ y 3 3 0 2 = 16

∫ 0 2 3 y 3 d y = 3 ⋅ y 4 4 0 2 = 12

Juntando nossos resultados, temos:

∫ 0 2 24 - 12 y - 6 y 2 + 3 y 3   d y = 48 - 24 - 16 + 12 = 20

Ou seja:

V = ∬ D 12 - 3 y 2   d x d y = 20

Resposta

V = 20

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