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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 13

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimas, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície z = e - x 2 - y 2 que está acima do círculo x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Vamos lá galera! Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais. Precisamos transformar isso em uma integral unidimensional, então vamos converter para coordenadas cilíndricas e resolver a integral “de dentro”. Após isso utilizaremos uma calculadora para obter o resultado final.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = e - x 2 - y 2 . Sendo assim:

∂ z ∂ x = ∂ e - x 2 - y 2 ∂ x

Derivando em relação a x consideramos y como constante.

Vamos recordar a regra da cadeia:

f ( g x ' = f ( g ' x   ∙ x )

∂ ( e - x 2 - y 2 ) ∂ x =   = e - x 2 - y 2 ∙   - 2 x

Podemos fazer o mesmo para a outra derivada parcial:

∂ z ∂ y = - 2 y e - x 2 - y 2

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + - 2 x e - x 2 - y 2 2 + - 2 y e - x 2 - y 2 2 d A

A S = ∬ D 1 + 4 x 2 + 4 y 2 e - x 2 - y 2 2 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região circular de centro na origem e raio 2 , é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

Agora, basta resolvermos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r 1 + 4 r 2 e - 2 r 2 d θ d r

Resolvendo em função de θ :

A S = ∫ 0 2 1 + 4 r 2 e - 2 r 2 d r ∙   θ ​ 0 2 π

Aplicando os limites de integração temos:    

A S = ∫ 0 2 2 π r 1 + 4 r 2 e - r 4 d r

Utilizando uma calculadora para obter esta integral, temos:

A S ≈ 13,9783

Resposta

A S ≈ 13,9783

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