Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 23

Determine a área da parte finita do paraboloide limitado pelo plano . [Sugestão: Projete a superfície sobre o plano ].

Passo 1

Bom, a questão nos dá uma sugestão, e normalmente seguimos ela pois é o caminho fácil para resolver o problema. Contudo, será sugerido aqui uma rota que é mais fácil ainda! Só precisamos fazer algumas mudanças.

A integral que estamos acostumados a trabalhar para calcular a área de uma superfície é:

Em que a região é a projeção da superfície no plano . Podemos calcular a área de uma superfície projetando em outros planos. Se quisermos projetar no plano , por exemplo, a nossa integral se torna:

Observe que houve apenas uma mudança nas derivadas parciais. Ao fazermos isto, a projeção do nosso sólido se torna uma circunferência de raio 5 e centrado na origem, dada por .

Agora, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de em função de e de para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de da função , relativa ao paraboloide. Sendo assim

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

Passo 3

Agora, vamos escrever em coordenadas polares a nossa integral. Seja e , a nossa integral se transforma em:

Os limites serão dados pela circunferência de raio 5. Logo,

Portanto, a integral que devemos resolver é:

Pronto! Igual a diversas outras questões anteriores! A única diferença foi a mudança no plano da projeção.

Resposta

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitada pelos paraboloides z = 3 x 2 + 3 y 2 e z = 4 - x 2 - y 2

Encontre o volume do sólido cuja base seja a região no planoxy que é delimitada pela parábola y = 4 – x2 e pela reta y = 3x,enquanto o topo do sólido é delimitado pelo plano z = x + 4.

Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitadopelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano z + y = 3.

Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelocilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y = 2 – x2 e pela reta y = x no plano xy.