Exercícios de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule o volume do sólido que é delimitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e e pelos planos coordenados.

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide , acima do plano e dentro do cilindro .

Seja . Mostre que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a:

Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.

Seja , onde é o disco fechado de raio centrado no ponto e é o semiplano fechado

1. Esboce a região plana e determine-a através de desigualdades em coordenadas polares e
2. Usando coordenadas polares, escreva a integral dupla

Na forma

Explicitando as constante e e a função

Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral

3. Escreva o volume do sólido em função de (sendo a integral do item anterior), onde

Considere a seguinte função:

Obtenha e o seu domínio.

Determine o volume do sólido limitado pela superfície e os planos , , , e .

Uma piscina tem formato circular de raio e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul é de e no extremo norte é de . Calcule o volume da piscina.

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide elíptico e acima do retângulo .

Calcule o volume do solido limitado pelos paraboloides

Considere a região do plano tal que , onde

Seja , onde

1. Desenhe e desenho ao lado o interior de (pontilhando) e a fronteira de .
2. Seja a integral dupla

Escreva como uma soma de duas integrais iteradas, integrando primeiramente com respeito a e em seguida com respeito a .

Calcule , usando a ordem de integração que preferir.

3. Seja

Onde é a região dada no enunciado inicial. Calcule o volume de

Encontre o volume do sólido no primeiro octante que se encontra acima do triângulo com vértices nos pontos , , e abaixo do plano

Calcule o volume do sólido que não contém a origem e é limitado pelas superfícies:

1. Achar o volume do sólido limitado superiormente pela esfera, inferiormente pelo plano e lateralmente pelo cilindro .

Considere a região do espaço

1. Considere a região do plano Considere Fr(R), a fronteira de R.

Desenhe R, explicitando na figura os dois pontos da fronteira Fr(R) que pertencem ao eixo z.

2. Calcule o volume de .

Considere a região do plano

1. Desenhe (hachurando). Ao lado desenhe o interior de (pontilhando) e desenhe a fronteira de (tracejando). Determine a fronteira de , usando desigualdades e igualdades.
2. Sabendo que a área de é dada por ; calcule a integral dupla abaixo:
3. Seja a região do plano dada em . Calcule o volume da região definida por:

4) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral

Justifique o seu raciocínio.

Considere a região espacial

Onde é a região plana descrita na questão .

1. Expresse o volume de como uma soma de integrais iteradas nas variáveis cartesianas e , integrando primeiro em relação a e em seguida com respeito a . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
2. Expresse o volume de como uma soma de integrais iteradas nas variáveis cartesianas e , integrando primeiro em relação a e em seguida com respeito a . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
3. Calcule o volume de (usando o método que preferir)

OBS: faça essa questão depois de dar uma olhada na primeira questão dessa prova, elas tem relação.

8 – Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas por , e .

Questão 2: Considere a região do espaço

c) Calcule o volume de .

1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado por:

Questão3: Seja a região limitada pelos planos , e , e o cilindro parabólico .

1. Faça um esboço de .
2. Calcule o volume de .

Considere o sólido limitado pelo paraboloide e pelos planos e.

1. Escreva a integral que fornece o volume sólido.
2. Determine o volume do sólido.

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano e acima do retângulo .

Determine o volume do sólido delimitado pela superfície e pelos planos .

Seja

Considere a função definida por

e a integral dupla

a) Faça um esboço apurado da região e, ao lado, esboce seu interior.

b) Expresse como um integral iterada, integrando primeiro com respeito a e depois a . Não é preciso calcular a integral!

c) Expresse como integral iterada, integrando primeiro com respeito a e depois a . Não é preciso calcular a integral!

d) Calcule .

e) Determine, usando igualdades e desigualdades, uma região espacial cuja projeção no plano é e cujo volume é igual ao valor de .

Seja . Mostre que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a:

Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.

Considere a região espacial

b) Calcule o volume de

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano e acima do retângulo

1. Calcule o Volume do sólido contido no primeiro octante, limitado pelo cone, pelo cilindro e pelo plano .

1. Identifique e desenhe a superfície , dada abaixo:
2. Considere a região , dada por:

1. Desenhe a fronteira de .
2. Escreva o volume de na forma de , determinando e .
3. Calcule o volume de .

1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado por:

situado no primeiro octante.

Calcule o volume do sólido definido por , onde

9 - Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:

b) , e

9 - Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:

a) , e

Considere a quádrica

a) Desenhe-a e identifique a sua interseção com os seguintes planos:

• , para e

b) Considere a região espacial

Escreva a fronteira de usando igualdades ou desigualdades.

c) Seja

Escreva o volume na forma

explicitando e .

d) Calcule o volume de .

e) Calcule o volume de .

Seja a região plana

a)

• Determine a região em coordenadas polares, usando desigualdades, no seguinte formato:

explicitando as funções e e as constantes e .

• Determine a fronteira da região em coordenadas polares, usando igualdades e desigualdades.

b) Determine as coordenadas radiais dos pontos de fronteira de para e . Em seguida, marque os pontos no desenho abaixo e esboce .



c) Considere a região espacial

• Escreva o volume na forma de uma integral dupla iterada nas coordendas polares e .
• Calcule o volume .

Questão 2: Determine o volume do sólido abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices , , .

(Cap 15.2 – Ex 27) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico e acima do retângulo .

(Cap 15.2 – Ex 32) Desenhe o sólido que está entre a superfície e o plano e é limitado pelos planos e . A seguir, determine seu volume.

(Cap 15.2 – Ex 28) Determine o volume do sólido delimitado pela superfície e pelos planos e .

(Cap 15.2 – Ex 29) Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície e pelos planos e .

(Cap 15.2 – Ex 30) Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano .

(Cap 15.3 – Ex 37) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

(Cap 15.2 – Ex 26) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do retângulo .

(Cap 15.4 – Ex 19) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.

Abaixo do cone e acima do disco .

(Cap 15.2 – Ex 31) Encontre o volume do sólido delimitado pelo paraboloide e pelos planos e .

(Cap 15.4 – Ex 22) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Dentro da esfera e fora do cilindro .

(Cap 15.4 – Ex 20) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.

Abaixo do paraboloide e acima do plano .

(Cap 15.4 – Ex 25) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Acima do cone e abaixo da esfera

(Cap 15.4 – Ex 27) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Dentro do cilindro e do elipsoide

(Cap 15.4 – Ex 21) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Delimitado pelo hiperboloide e pelo plano .

1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado por:

O volume do sólido limitado pelo cilindro e pelo paraboloide é dado pelo valor da integral dupla:

Para o cálculo dessa integral, uma mudança de coordenadas conveniente e o respectivo Jacobiano (J) são

2) Considere as regiões do espaço

e

1. Identifique as fronteiras de e , esboçando lado a lado as duas superfícies clássicas.
2. Considere .

Seja . Desenhe hachurando e desenhe ao lado a fronteira de (observe que está contida no plano , ou seja, no plano ).

3. Escreva a integral dupla

na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a e depois com respeito a (Obs.: é a região planado item ).

Neste item não é necessário encontrar o valor numérico de .

4. Escreva o volume de na forma

explicitando , e .

Neste item não é necessário encontrar o valor numérico de .

5. Calcule , onde é a integral do item .

Calcule o volume do solido abaixo do paraboloide e acima do retângulo delimitado pelos planos

Considere o sólido limitado pela superfície e pelos planos , , , e . Determine o volume do sólido descrito.

Considere a região espacial

1. Identifique a fronteira da região plana

Como uma cônica clássica, ou seja, determine sua equação e seu nome.

2. Escreva a fronteira de como uma união de superfícies , determinando cada uma delas através de desigualdades ou igualdades. Esboce a fronteira de
3. Calcule o volume do sólido , onde
4. Descreva, através de desigualdades ou igualdades, a parte da fronteira de que está contida no plano

Determine o volume do sólido dado

1. Abaixo do plano e acima da região limitada por e .

Seja a região do espaço definida por

Seja

1. Esboce a fronteira de e no mesmo desenho esboce , hachurando .
2. Calcule o volume de .

Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide e pelos planos e .

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral

(a)

Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide hiperbólico e acima do retângulo .

Use uma integral dupla para determinar o volume do sólido abaixo do parabolóide e acima da região limitada por e .

4) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral

Justifique o seu raciocínio.

1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado por:

, situado no primeiro octante.

Determine o volume do sólido dado

b) Abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices em e .

Seja .

a) Esboce hachurando a região e ao lado a fronteira de .

b) Seja a integral dupla

Escreva na forma iterada, integrando primeiro em relação a e em seguida em relação a .

c) Escreva na forma da soma de duas integrais, integrando primeiro em relação a e depois a .

d) Agora, considere a integral dupla

em que . Calcule pelo método que preferir.

e) Determine, usando igualdades e desigualdades uma região que satisfaz as seguintes propriedades:

• A projeção da região no plano é a região plana definida no início da questão.
• O volume de é

Determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

O volume do sólido delimitado pelos paraboloides e é igual a:

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral

b)

Considere o sólido