Resolva o Exemplo 3 da Seção 8.1, mostrando que e diferem por uma constante e então calcule-a.
Passo 1
A questão pede para provarmos a relação do exemplo 3 da seção 8.1:
Na seção 8.1 isso é demonstrado usando a relação . Agora é pedido que mostremos que as funções e diferem por uma constante.
Ora, para isso basta derivarmos as duas funções:
Vemos então que para todo tal que . Bom, sabemos que se duas funções têm a mesma derivada, então elas diferem por uma constante:
Assim,
Portanto,
o que vale para todo .
Passo 2
Como a relação deve valer para todo , vamos chutar um valor específico de para descobrirmos o valor de . Com :
Assim, temos que para todo :
Logo,
Essa é exatamente a relação que queríamos mostrar!
Resposta
Demonstração.