67-a) Em qual intervalo aberto a fórmula

F x = ∫ 1 x d t t

representa uma antiderivada de f x = 1 x   ?

b)Encontre um ponto em que o gráfico de F cruza o eixo x .

Passo 1

a)Galerinha, nós sabemos que a função 1 x está definida no seguinte intervalo:

- ∞ , 0   U   ( 0 , + ∞ )

Também sabemos que:

∫ 1 x = F x

Ou seja,

ln ⁡ x + C = ∫ 1 x d t t

Bom, nós precisamos descobrir qual é o valor da constante, certo ? Para isso precisamos de valor de x .... Que tal 1 ??? Nós sabemos quanto vale ln ⁡ 1 , né ?

Assim,

ln ⁡ 1 + C = ∫ 1 1 d t t

C = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1  

C = 0

Então, o maior intervalo contendo x = 1 , para o qual f ( x ) está definida é ( 0 ,   + ∞ ) .

Passo 2

b)O ponto em que F cruza o eixo x é quando temos F = 0 , certo ?

O que quer dizer que:

∫ 1 x d t t = 0

Isso acontece para x = 1 , conforme está descrito no item a .

Resposta

  1. ( 0 ,   + ∞ )
  2. x = 1
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