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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.7 - Ex. 7

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = 1 + 2 x - x 3 , ( 1,2 )

Passo 1

Opa, bora lá! Temos a curva e o ponto:

y = 1 + 2 x - x 3 , ( 1,2 )

Queremos encontrar uma equação da reta tangente.

Para isso, faremos essa questão pela equação abaixo:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a .

A equação da reta tangente será:

y - y o = m ( x - x o )

Em que   ( x o ,   y o ) é o ponto de tangência.

Passo 2

Aplicando x = 1 , temos:

m = lim h → 0 ⁡ f ( 1 + h ) - f ( 1 ) h

Lembrando que f ( 1 ) = 2 , temos:

f 1 + h = 1 + 2 1 + h - 1 + h 3 ∴

f 1 + h = 1 + 2 + 2 h - 1 - 3 h - 3 h 2 - h 3 ∴

f 1 + h = 2 - h - 3 h 2 - h 3

Substituindo tudo na expressão do limite, temos:

m = lim h → 0 ⁡ 2 - h - 3 h 2 - h 3 - 2 h

m = lim h → 0 ⁡ - h - 3 h 2 - h 3 h

Colocando o h em evidência, temos:

m = lim h → 0 ⁡ h ( - 1 - 3 h - h 2 ) h

“Cortando” o h do numerador com o h do denominador, temos:

m = lim h → 0 ⁡ - 1 - 3 h - h 2 ∴

m = - 1

Passo 3

Com o coeficiente angular da reta já calculado, vamos substituir o ponto e esse coeficiente na equação da reta tangente.

Lembrando que m = - 1 e x 0 , y 0 = 1,2 , temos:

y - y o = m x - x o ∴

y - 2 = - 1 ( x - 1 )   ∴

y - 2 = - x + 1 ∴

y = - x + 3

Prontinho!

Resposta

y = - x + 3

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