Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 30

Se , encontre e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva nos pontos e .

Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tangentes na mesma tela.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

Essa é uma questão que fala sobre derivadas e retas tangentes. Então, no item (a) o enunciado nos pede para encontrar a derivada de , que é a função que ele nos deu, no ponto . Isso significa que, usando a definição de derivada, vamos calcular:

Em seguida, vamos usar o resultado que encontrarmos para definir as equações das retas tangentes à curva nos pontos e . Nós vamos fazer isso usando a equação da reta na forma:

Depois de resolvida essa parte, vamos para o item (b), onde vamos apenas esboçar a curva junto com as retas tangentes que encontramos no item anterior.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função , usando a definição que vimos no passo anterior:

Nós sabemos que , então a gente pode concluir que:

Beleza? A gente pega essas duas expressões e substitui no nosso limite, ficando desse jeitinho aqui:

Nós temos a nossa expressão para o limite e podemos resolvé-lo! Temos só que dar mais uma arrumada. Na nossa expressão, temos dois produtos notáveis: o quadrado da soma e o cubo da soma. Vou expandir esses produtos notáveis e vai ficar assim:

Fazendo as multiplicações necessárias e o jogo de sinal, vamos ter:

Podemos eliminar com e com , ficando desse jeito aqui:

Prontinho! Agora nosso limite ta arrumadão e pronto para ser resolvido!

Passo 3

Se fizermos a substituição no limite, vamos ter uma indeterminação . A gente consegue eliminar essa indeterminação colocando o em evindencia no numerador da expressão e cancelando ele com o do denominador, olha só:

Fazendo a substituição , agora teremos isso aqui:

Pronto! Encontramos uma expressão para .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as retas tangentes nos pontos e . A reta tangente é sempre dada por:

Para o ponto , vamos ter e . Nossa expressão vai ficar assim:

A gente calcula o substituindo na expressão de , sacou? Olha só:

Pronto, temos e ele vale ! Substituindo na equação da reta tangente:

Achamos a nossa primeira reta!

Passo 5

Vamos encontrar agora a reta para o ponto . Olhando o par ordenado, a gente conclui que e . Nossa reta tangente vai ser essa aqui:

Agora, temos que encontrar . Fazemos o mesmo que no passo anterior e usamos a expressão de derivada no ponto que encontramos, dá uma olhadinha:

Substituindo na equação da reta tangente:

Uhul! Encontramos a nossa segunda reta tangente!

Passo 6

Agora só falta a gente desenhar o gráfico da nossa curva junto com as duas retas tangentes. Olha como vai ficar:

Em azul é a curva , um polinômio de grau. Em vermelho, temos a reta, tangente no ponto . Por último, em amarelo, teremos a reta , a qual será tangente no ponto .

Finalizamos nossa questão aqui! Ela é trabalhosa mesmo, mas esse conceito de reta tangente é muuuuito importante em cálculo e em várias outras disciplinas das ciências exatas, então faz com calma, carinho e atenção para arrasar lá na frente! ;)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉