Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 30
- Se , encontre e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva nos pontos e .
- Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tangentes na mesma tela.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
Essa é uma questão que fala sobre derivadas e retas tangentes. Então, no item (a) o enunciado nos pede para encontrar a derivada de , que é a função que ele nos deu, no ponto . Isso significa que, usando a definição de derivada, vamos calcular:
Em seguida, vamos usar o resultado que encontrarmos para definir as equações das retas tangentes à curva nos pontos e . Nós vamos fazer isso usando a equação da reta na forma:
Depois de resolvida essa parte, vamos para o item (b), onde vamos apenas esboçar a curva junto com as retas tangentes que encontramos no item anterior.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função , usando a definição que vimos no passo anterior:
Nós sabemos que , então a gente pode concluir que:
Beleza? A gente pega essas duas expressões e substitui no nosso limite, ficando desse jeitinho aqui:
Nós temos a nossa expressão para o limite e podemos resolvé-lo! Temos só que dar mais uma arrumada. Na nossa expressão, temos dois produtos notáveis: o quadrado da soma e o cubo da soma. Vou expandir esses produtos notáveis e vai ficar assim:
Fazendo as multiplicações necessárias e o jogo de sinal, vamos ter:
Podemos eliminar com e com , ficando desse jeito aqui:
Prontinho! Agora nosso limite ta arrumadão e pronto para ser resolvido!
Passo 3
Se fizermos a substituição no limite, vamos ter uma indeterminação . A gente consegue eliminar essa indeterminação colocando o em evindencia no numerador da expressão e cancelando ele com o do denominador, olha só:
Fazendo a substituição , agora teremos isso aqui:
Pronto! Encontramos uma expressão para .
Passo 4
Agora, vamos encontrar as retas tangentes nos pontos e . A reta tangente é sempre dada por:
Para o ponto , vamos ter e . Nossa expressão vai ficar assim:
A gente calcula o substituindo na expressão de , sacou? Olha só:
Pronto, temos e ele vale ! Substituindo na equação da reta tangente:
Achamos a nossa primeira reta!
Passo 5
Vamos encontrar agora a reta para o ponto . Olhando o par ordenado, a gente conclui que e . Nossa reta tangente vai ser essa aqui:
Agora, temos que encontrar . Fazemos o mesmo que no passo anterior e usamos a expressão de derivada no ponto que encontramos, dá uma olhadinha:
Substituindo na equação da reta tangente:
Uhul! Encontramos a nossa segunda reta tangente!
Passo 6
Agora só falta a gente desenhar o gráfico da nossa curva junto com as duas retas tangentes. Olha como vai ficar:
Em azul é a curva , um polinômio de grau. Em vermelho, temos a reta, tangente no ponto . Por último, em amarelo, teremos a reta , a qual será tangente no ponto .
Finalizamos nossa questão aqui! Ela é trabalhosa mesmo, mas esse conceito de reta tangente é muuuuito importante em cálculo e em várias outras disciplinas das ciências exatas, então faz com calma, carinho e atenção para arrasar lá na frente! ;)
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
- O gráfico expressando a curva e as retas tangentes pedidas é o que segue:
Para o ponto , a reta tangente é
Para o ponto , a reta tangente é
