Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = raiz(2x + 1) , (4,3)

Passo 1

Opa, bora lá! Temos a curva e o ponto:

y = 2 x + 1 , ( 4,3 )

Queremos encontrar uma equação da reta tangente.

Para isso, faremos essa questão pela equação abaixo:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a .

A equação da reta tangente será:

y - y o = m ( x - x o )

Em que   ( x o ,   y o ) é o ponto de tangência.

Agora bora aplicar!!!

Passo 2

Aplicando x = 4 , temos:

m = lim h → 0 ⁡ f ( 4 + h ) - f ( 4 ) h

Lembrando que f ( 4 ) = 3 , temos:

f 4 + h = 2 4 + h + 1 ∴

f 4 + h = 9 + 2 h

Substituindo tudo na expressão do limite, temos:

m = lim h → 0 ⁡ 9 + 2 h - 3 h

Multiplicaremos e dividiremos pelo conjugado de 9 + 2 h - 3 :

m = lim h → 0 ⁡ 9 + 2 h - 3 h * 9 + 2 h + 3 9 + 2 h + 3 ∴

m = lim h → 0 ⁡ 9 + 2 h - 9 h 9 + 2 h + 3 ∴

m = lim h → 0 ⁡ 2 h h ( 9 + 2 h + 3 )

“Cortando” o h do numerador com o h do denominador, temos:

m = lim h → 0 ⁡ 2 9 + 2 h + 3 ) ∴

m = 2 6 ∴

m = 1 3

Passo 3

Com o coeficiente angular da reta já calculado, vamos substituir o ponto e esse coeficiente na equação da reta tangente.

Lembrando que m = 1 3 e x 0 , y 0 = 4,3 , temos:

y - y o = m x - x o ∴

y - 3 = 1 3 ( x - 4 )   ∴

3 y - 9 = x - 4 ∴

y = x + 5 3

Resposta

y = x + 5 3

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