Siga as instruções do exercício 1 (a) mas use x₁ = 1 como ponto inicial de aproximação para encontrar a raiz r.

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão fala pra gente seguir as instruções do exercício anterior para encontrar a raiz s no gráfico dado por:

Teremos que supor que seja usado o método de Newton para aproximar a raiz s da equação  

f   x = 0

Mas agora usando

x 1 = 1

como aproximação inicial.

O que teremos que fazer aqui desenhar as tangentes que são usadas para encontrar x 2 e x 3 , e estime os valores numéricos de x 2 e x 3 .

Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta tangente L à curva da função no ponto x 1 ,   f x 1 .

Depois devemos procurar a interseção de L como o eixo x , que será chamada de x 2 e verificar o quão próximo x 2 está da interseção r da curva com o eixo x .

Para encontrar x 2 , podemos fazer:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Depois, repetimos o processo, usando x 2 como uma segunda aproximação, fazendo:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

E se x n ficar cada vez mais próxima da raiz r de nossa curva à medida que n cresce, fizemos que a sequência converge para r .

Assim:

lim n → ∞ ⁡ x n = r

Perfeito.

Então, vamos nessa.

Passo 2

Pelo gráfico dado, devemos traçar uma tangente quando x 1 = 1 , isto é, no sexto quadrado. Onde a reta tocar no eixo x será nosso x 2 .

Pelo gráfico acima, podemos estimar que x 2 = 3,2 .

A partir de x 2 traçamos uma vertical para encontrar o ponto da curva que representa f ( x 2 ) . A partir deste ponto, traçamos uma nova tangente, assim como o feito no passo anterior.

Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente cruza o eixo x em x 3 ≈ 2,6 .

E essas são nossas estimativas, como não conhecemos a função que modela esse gráfico.

Resposta

x 2 = 3,2 .

x 3 ≈ 2,6 .

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