Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 2
Siga as instruções do exercício 1 (a) mas use como ponto inicial de aproximação para encontrar a raiz r.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão fala pra gente seguir as instruções do exercício anterior para encontrar a raiz no gráfico dado por:
Teremos que supor que seja usado o método de Newton para aproximar a raiz da equação
Mas agora usando
como aproximação inicial.
O que teremos que fazer aqui desenhar as tangentes que são usadas para encontrar e , e estime os valores numéricos de e .
Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta tangente à curva da função no ponto .
Depois devemos procurar a interseção de como o eixo , que será chamada de e verificar o quão próximo está da interseção da curva com o eixo .
Para encontrar , podemos fazer:
Depois, repetimos o processo, usando como uma segunda aproximação, fazendo:
E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo
E se ficar cada vez mais próxima da raiz de nossa curva à medida que cresce, fizemos que a sequência converge para .
Assim:
Perfeito.
Então, vamos nessa.
Passo 2
Pelo gráfico dado, devemos traçar uma tangente quando , isto é, no sexto quadrado. Onde a reta tocar no eixo x será nosso .
Pelo gráfico acima, podemos estimar que
A partir de traçamos uma vertical para encontrar o ponto da curva que representa . A partir deste ponto, traçamos uma nova tangente, assim como o feito no passo anterior.
Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente cruza o eixo x em
E essas são nossas estimativas, como não conhecemos a função que modela esse gráfico.