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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 7

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

7. z = x - y 5 ,   x = s 2 t ,   y = s t ²

Passo 1

E aí, galera. Tudo certo?

A questão nos deu a função

z = x - y 5

Onde x = s 2 t ,   y = s t ² e quer que calculemos ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t usando a regra da cadeia.

Para encontrarmos ∂ z ∂ s e   ∂ z ∂ t , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Vamos às contas...

Passo 2

Vamos relembrar as expressões de z , x , y :  

z = x - y 5

x = s 2 t

  y = s t ²

Em todos os casos, teremos derivadas de polinômios, bastando usar a regra da potência.

As derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s são:

∂ z ∂ x = 5 x - y 4

∂ x ∂ s = 2 s t

∂ z ∂ y = - 5 x - y 4

∂ y ∂ s = t ²

E as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ t são:

∂ z ∂ x = 5 x - y 4

∂ x ∂ t = s ²

∂ z ∂ y = - 5 x - y 4

∂ y ∂ t = 2 s t

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = 5 x - y 4 ⋅ 2 s t - 5 x - y 4 ⋅ t ²

∴ ∂ z ∂ s = 5 t x - y 4 2 s - t

Para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = 5 x - y 4 . ⋅ - 5 x - y 4 ⋅ 2 s t

∴ ∂ z ∂ t = 5 s x - y 4 s - 2 t

Resposta

∂ z ∂ s = 5 t x - y 4 2 s - t

∂ z ∂ t = 5 s x - y 4 s - 2 t

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