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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 4

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .

4. z = 1 + x y ,   x = tan ⁡ t ,   y = a r c tan ⁡ t

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

A gente tem a função:

z = 1 + x y

E temos suas parametrizações:

x = tan ⁡ t

  y = a r c tan ⁡ t

Dito isso, queremos encontrar o diferencial:

d z d t

Para encontrarmos d z d t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

Passo 2

Vamos derivar para encontrar os termos que precisamos, primeiro vamos encontrar z x :

Veja que precisamos aplicar a regra da cadeia aqui:

f g x = f ' g x ⋅ g ' x

g x = 1 + x y

Vamos para a derivação então:

z = 1 + x y

∂ z ∂ x = 1 2 1 + x y - 1 2 ⋅ y

Organizando a fração:

∂ z ∂ x = y 2 1 + x y

Temos agora que encontrar x t :

x = tan ⁡ t

Aqui a derivada é tabelada:

d x d t = s e c 2 t

Vamos agora para nossa z y : z = 1 + x y

Aplicamos novamente a regra da cadeia:

∂ z ∂ y = 1 2 1 + x y - 1 2 ⋅ x

E novamente iremos simplificar:

∂ z ∂ y = x 2 1 + x y

Agora por ultimo iremos calcular y t :

y = a r c tan ⁡ t

Aqui temos uma deriada tabelada:

d y d t = 1 1 + t ²

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = y 2 1 + x y ⋅ s e c 2 t + x 2 1 + x y ⋅ 1 1 + t ²

d z d t = 1 2 1 + x y y ⋅ s e c 2 t + x 1 + t 2

Resposta

d z d t = 1 2 1 + x y y . s e c 2 t + x 1 + t 2

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