Euler também descobriu a soma da série p com p = 4 : ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.a) ∑ n = 1 ∞ 3 n 4

∑ n = 1 ∞ 3 n 4 = 9 10 π 4

Enunciado

Pessoal! Tudo certinho?

Vamos começar entendendo o caminho que vamos seguir para resolver essa questão:

Queremos a soma da série:

Mas perceba que já temos o valor da soma de uma série parecida com essa:

Ou seja, vamos facilitar nossa vida e manipular nossa série até conseguirmos relacionar com essa outra cuja soma soma já é conhecida.

Bora, então!

Para descobrirmos a soma da série que nos foi dada, basta utilizarmos um pouquinho de manipulação algébrica, pessoal. Se liga:

Vamos começar aplicando a propriedade da potenciação

Agora podemos tirar a constante de dentro da soma e já calcular seu valor:

Segundo o enunciado, temos que:

Substituindo esse resultado na série que temos:

Voltando para nossa série inicial e simplificar a fração, teremos por fim: