Use a regra da cadeia para achar dz / dt ou d w / d t .

w = x * e^(y/z)

x = t^2

y = 1 - t

z = 1 + 2t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade. Aqui a gente vai encontrar a derivada:

d w d t

Dessa nossa função parametrizada:

w = x e y z

Com os seguintes parâmetros:

x = t 2

y = 1 - t

z = 1 + 2 t

Para isso a gente utiliza da regra da cadeia:

w t = w x ⋅ x ' + w t ⋅ y ' + w z ⋅ z '

Veja então que basicamente deveremos derivar varias vezes para respondermos essa atividade.

Passo 2

Vamos começar com a derivada parcial de w x :

w = x e y z

w x = x e y z '

Derivando apenas em relação a x :

w x = e y z x '

w x = e y z

Agora a gente vai derivar apenas em relação a y :

w y = x e y x '

Aplicando a regra da cadeia:

w y = x e y z '

w y = x e y z ⋅ y z '

Temos então:

w y = x z ⋅ e y z

Agora a gente vai derivar em relação z :

w z = x e y z '

Vamos aplicar a regra da cadeia também:

w z = x e y z '

w z = - x y z 2 e y z

Passo 3

Agora iremos encontrar x ' , y ' e z ' :

x ' = t 2 ' = 2 t

E

y ' = 1 - t ' = - 1  

E por último:

z ' = 1 + 2 t ' = 2

Finalmente substituindo tudo:

w t = w x ⋅ x ' + w t ⋅ y ' + w z ⋅ z '

d w d t =   e y z 2 t - x z - 2 x y z 2

Resposta

d w d t =   e y z 2 t - x z - 2 x y z 2

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