Enunciado

Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t .

w = x e y z

x = t 2

y = 1 - t

z = 1 + 2 t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade. Aqui a gente vai encontrar a derivada:

d w d t

Dessa nossa função parametrizada:

w = x e y z

Com os seguintes parâmetros:

x = t 2

y = 1 - t

z = 1 + 2 t

Para isso a gente utiliza da regra da cadeia:

w t = w x ⋅ x ' + w t ⋅ y ' + w z ⋅ z '

Veja então que basicamente deveremos derivar varias vezes para respondermos essa atividade.

Passo 2

Vamos começar com a derivada parcial de w x :

w = x e y z

w x = x e y z '

Derivando apenas em relação a x :

w x = e y z x '

w x = e y z

Agora a gente vai derivar apenas em relação a y :

w y = x e y x '

Aplicando a regra da cadeia:

w y = x e y z '

w y = x e y z ⋅ y z '

Temos então:

w y = x z ⋅ e y z

Agora a gente vai derivar em relação z :

w z = x e y z '

Vamos aplicar a regra da cadeia também:

w z = x e y z '

w z = - x y z 2 e y z

Passo 3

Agora iremos encontrar x ' , y ' e z ' :

x ' = t 2 ' = 2 t

E

y ' = 1 - t ' = - 1  

E por último:

z ' = 1 + 2 t ' = 2

Finalmente substituindo tudo:

w t = w x ⋅ x ' + w t ⋅ y ' + w z ⋅ z '

d w d t =   e y z 2 t - x z - 2 x y z 2

Resposta

d w d t =   e y z 2 t - x z - 2 x y z 2

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Se z = (1)/(y) [f (a x + y) + g (a x - y)] , mostre que:(del^2 z)/(del x^2) = (a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y))
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = x e^((2 x y^2)) x = 2 t y = 3 t - 1
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = x y , x = 2 t^2 + 1 , y = s e n t
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = 5 x y + x^2 - y^2 x = t^2 - 1 y = t + 2