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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 13

7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.

13. f x = s e n   x

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos os pontos críticos de uma função devemos derivar a mesma e igualar a zero, ok? No entanto, essa é uma função bem chatinha de se trabalhar, pois é uma função trigonométrica modular. Restringindo nossa função e em seguida derivando, teremos:

f x = s e n   x ,     s e n   x ≥ 0 - s e n   x ,     s e n   x < 0

Derivando, teremos:

f ' x = cos ⁡ x ,     s e n   x > 0 - cos ⁡ x ,     s e n   x < 0

Dessa derivada que encontramos, temos que a função não existe em x = n π , onde n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … , pois os limites laterais não são iguais para esse ponto! Sendo assim, temos que esses pontos são críticos da nossa função.

Passo 2

Beleza, agora para finalizar vamos igualar de fato nossa f ' x a zero:

f ' x = cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 0

Os valores de x que satisfazem essa relação são:

x = π 2 + n π

Dessa forma, concluímos que apenas x = π 2 + n π são estacionários!

Resposta

Pontos críticos: x = n π ,   x = π 2 + n π

Pontos estacionários: x = π 2 + n π

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