Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

g)

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do produto para fazer essa derivada, tudo bem? Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando .

Sendo assim, como para todo a função é crescente, então para todo a função é decrescente, o que faz sentido, uma vez que para o termo resultará em um número negativo, enquanto o termo sempre será positivo! Dessa forma, nossa conclusão é que:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

Como nunca será zero, então nos resta que:

Sabendo disso, esse é o único ponto crítico da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esse ponto crítico na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: Não existe.

Mínimo da função: .

E estão aí nossos máximos e mínimos!