Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 8i

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

i)

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Antes de derivarmos, só vamos retirar esse módulo aí, saca só:

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando . Como nossa derivada resultou em constantes (dependendo do valor de ), então temos que:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Passo 3

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Como já feito, nossa derivada é:

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, temos que:

Como não existe, então sem dúvida alguma é um ponto crítico da função, não é mesmo? Excetuando esse valor de , não há mais nenhum ponto crítico da função. Dessa forma, vamos substituir esse ponto na função para determinar os máximos e mínimos, se existirem. Saca só: